Gibt es eine einfache Regel für die Umkehrung der Stabilisatortabelle einer Clifford-Schaltung?

In der verbesserten Simulation von Stabilisatorschaltungen von Aaronson und Gottesman wird erklärt, wie eine Tabelle berechnet wird, in der beschrieben wird, auf welche Pauli-Tensorprodukte die X- und Z-Werte jedes Qubits abgebildet werden, wenn eine Clifford-Schaltung auf sie einwirkt.

Hier als Beispiel Clifford Schaltung:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Und die Tabelle, die beschreibt, wie es auf die X- und Z-Observablen jedes Qubits wirkt:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Jede Spalte der Tabelle beschreibt, wie die Schaltung auf das X-Observable (linke Hälfte der Spalte) und das Z-Observable (rechte Hälfte der Spalte) jedes Qubits wirkt. Zum Beispiel ist die linke Seite von Spalte 3 Z, Z, _, X, was bedeutet, dass eine X3-Operation (Pauli X auf Qubit 3) auf der rechten Seite der Schaltung einer Z1 * Z2 * X4-Operation auf der linken Seite entspricht Seite der Schaltung. Die Zeile "Vorzeichen" gibt das Vorzeichen des Produkts an. Dies ist wichtig, wenn Sie eine Messung simulieren möchten (sie gibt an, ob das Ergebnis invertiert werden soll oder nicht).

Sie können die Tabelle auch für die Umkehrung einer Schaltung berechnen. In dem Beispielfall, den ich gegeben habe, lautet die umgekehrte Tabelle wie folgt:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Die Tabellen sehen fast gleich aus, wenn Sie ihre Zeilen und Spalten transponieren. Die Einträge sind jedoch nicht genau identisch. Zusätzlich zum Transponieren müssen Sie die Buchstaben in Bits ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) codieren , dann die mittleren Bits austauschen und dann decodieren. Zum Beispiel codiert ZZ in 1010, das in 1100 wechselt, das in Y_ decodiert.

Die Frage, die ich habe, ist: Gibt es auch eine einfache Regel für die Berechnung der Vorzeichen der inversen Tabelle?

Derzeit invertiere ich diese Tabellen, indem ich sie in Schaltkreise zerlege, die Schaltkreise invertiere und sie dann wieder miteinander multipliziere. Es ist extrem ineffizient im Vergleich zu Transponieren + Ersetzen, aber wenn ich Transponieren + Ersetzen verwenden möchte, brauche ich eine Vorzeichenregel.

pauli-gates clifford-group Craig Gidney
quelle

Um die Frage zu klären: Lassen Sie die Clifford-Schaltung

. Wenn Sie dann die

-te Spalte lesen, erhalten Sie

und

je nachdem, welche linke oder rechte Hälfte verwendet wird. Und Sie möchten stattdessen

und

aus diesen Daten.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

AHusain

@AHusain Richtig.

Craig Gidney

Um die Frage zu klären: Was bedeuten die @ in Ihrer Clifford-Schaltung?

Josu Etxezarreta Martinez

@ JosuEtxezarretaMartinez Das sind Steuerelemente. Wenn zwei verbunden sind, ist es ein CZ-Gate. @ mit einem X verbunden ist ein gesteuertes-X. @ verbunden mit Y ist ein gesteuertes-Y.

Craig Gidney

Antworten:

Es gibt eine sehr eng verwandte Darstellung der Tableau-Darstellung von Aaronson (und Gottesman) , die nicht nur für Qubits, sondern auch für Qubits beliebiger endlicher Dimension funktioniert, was besonders gut für reine Clifford-Schaltungen funktioniert ( dh höchstens eine Terminalmessung).

In dieser alternativen Darstellung gibt es Tableaus, die beschreiben, wie sich die Einzel-Qubit-X- und -Z-Operatoren mit Phaseninformationen wie in der üblichen Darstellung transformieren. In den Spalten werden speziell Weyl-Operatoren mit mehreren Qubits beschrieben, die eine spezielle Teilmenge der Pauli-Operatoren darstellen. Dies hat den Vorteil, dass das Tableau nicht nur ein Array von Koeffizienten ist, sondern ein tatsächlicher linearer Operator für die Vektoren, die Weyl-Operatoren und -Phasen darstellen.

Es gibt einen kleinen Haken. Für Qubits haben diese Vektoren Koeffizienten, die ganze Zahlen Modulo 4 sind (entsprechend einer doppelten Abdeckung der nicht trivialen Single-Qubit-Pauli-Operatoren durch Weyl-Operatoren), anstatt Modulo 2. Ich denke, dies ist ein kleiner Preis, den ich zahlen muss - obwohl ich könnte leicht voreingenommen sein, da es mein eigenes Ergebnis ist [ arXiv: 1102.3354 ]. Es scheint jedoch eine etwas "natürlich vorkommende" Darstellung zu sein: Appleby hat den Single-Qubit- oder Qudit-Sonderfall etwas früher entwickelt [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (etwas, das ich vor zwei Jahren wirklich gerne gewusst hätte unnötig im Wesentlichen die gleichen Konventionen neu zu erstellen).

Unter Verwendung einer solchen Darstellung ist aufgrund der Tatsache, dass das "Tableau" $M_C$ einer Clifford-Schaltung $C$ nun eine tatsächliche Matrix (und eine invertierbare) ist, die Vektoren transformiert, das Tableau für die inverse Schaltung $C^{\dagger}$ dann das inverse $M_C^{-1}$ des Tableaus. Zumindest für diese eng verwandte Darstellung ist die Regel zum Berechnen des Tableaus für die inverse Schaltung einfach.

Niel de Beaudrap
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Könnten Sie auf Folien oder Vorlesungsunterlagen verweisen, in denen Weyl-Operatoren beschrieben werden?

Craig Gidney

Hat dies etwas mit dem Ersetzen der "Pauli-Basis" {I, X, Y, Z} durch die "Quaternionsbasis" {I, iX, iY, iZ} beim Verfolgen der Produktvektoren zu tun?

Craig Gidney

Vermutlich , wenn man über Qubits spricht, ist das ursprüngliche Papier dieser ein

DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

Niel de Beaudrap

@DaftWullie: Nein, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] ist streng anders. Sie indizieren die Potenzen von X und Z durch Mod 2-Vektoren (siehe den Text vor Gleichung 2), was sich in der additiven Gruppenstruktur von GF (4) widerspiegelt. Ihre Beobachtungen über symplektische Transformationen auf S. 8 gelten daher für die Modulo-Phasen der Pauli-Gruppe. Appleby und ich behaupten nicht, die Ersten zu sein, die eine ausgefallene Darstellung für die Pauli-Gruppe auf Qubits haben: Der Punkt ist, dass unsere Darstellung Phasen eleganter verfolgt. Dies ist weniger wichtig für die Entdeckung von QECCs, aber entscheidend für die Simulation von Zuständen.

Niel de Beaudrap

$2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M. = (\begin{array}{cc} EIN & B. \\ C. & D. \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$

(\begin{array}{cc} EIN & B. \\ C. & D. \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & ich \\ ich & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} EIN & B. \\ C. & D. \end{array})}^{T.} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} {D.}^{T.} & {B.}^{T.} \\ {C.}^{T.} & {EIN}^{T.} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

Das Chaos entsteht natürlich dadurch, dass man die Phasen im Auge behält. Ich denke, die Anzeichen hängen mit einer Änderung der Anzahl der Y-Operatoren in jedem Stabilisator zusammen, aber es ist mir nicht gelungen, eine einheitliche Behandlung durchzuführen. Niels Antwort kümmert sich wahrscheinlich besser automatisch darum.

DaftWullie
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