Warum ist die Zerlegung eines Qubit-Qutrit-Hamilton-Operators in Pauli- und Gell-Mann-Matrizen nicht eindeutig?

Wenn das Gatter auf ein Qubit und das Gatter auf ein Qutrit einwirken, wobei eine Gell-Mann-Matrix ist, unterliegt das System dem Hamilton-Operator:$X$$\lambda_6$$\lambda_6$

$\lambda_6X= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Falls jemand diese Matrix bezweifelt, kann sie mit dem folgenden Skript (MATLAB / Oktave) generiert werden:

lambda6=[0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
X=      [0 1; 1 0 ];
kron(lambda6,X)

Betrachten Sie jedoch die Alternative Hamiltonian:

$-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}X$ .

Dies ist genau der gleiche Hamiltonianer!

Das folgende Skript beweist es:

lambda1=[0 1 0;1 0 0;0 0 0];
lambda8=[1 0 0;0 1 0;0 0 -2]/sqrt(3);
Z=      [1 0; 0 -1 ];
round(-0.5*kron(Z,lambda1)+0.5*kron(eye(2),lambda1)-(1/sqrt(3))*kron(X,lambda8)+(1/3)*kron(X,eye(3)))

Die "Runde" in der letzten Codezeile kann entfernt werden, aber das Format ist hässlicher, da einige der Nullen ungefähr .$10^{-16}$

1) Ich dachte, die Pauli-Zerlegung für zwei Qubits sei einzigartig. Warum sollte die Pauli-GellMann-Zerlegung eines Qubits nicht eindeutig sein?

2) Wie würde ich die Zerlegung aus der obigen 6x6-Matrix erhalten?$\lambda_6X$

Sie erhalten zwei Zerlegungen für Ihre Matrix (nennen wir es ), weil Sie zwei verschiedene Operatorbasen verwenden.$A$

Im ersten Fall betrachten Sie die Matrix , wie in einem Raum der Dimension wirkende , die unter Verwendung der operatorial Basis ist { λ i σ j } i j ≡ { λ i ⊗ σ j } i j .$3\times 2$$\{\lambda_i\sigma_j\}_{ij}\equiv\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$

Mit anderen Worten, Sie berechnen die Koeffizienten , dass c 61 der einzige nicht verschwindende Term ist. Diese Zerlegung ist einzigartig, weil tr [ ( λ i σ j ) ( λ k σ l ) ] = N i j δ i k δ j l .$c_{ij}=\operatorname{tr}((\lambda_i\otimes \sigma_j) A)$$c_{61}$$\operatorname{tr}\big[ (\lambda_i\sigma_j)(\lambda_k\sigma_l) \big]=N_{ij} \delta_{ik}\delta_{jl}$

Andererseits wird die zweite Zerlegung erhalten, wenn man als Matrix in einem Raum der Dimensionen 2 × 3 betrachtet , dh indem man es unter Verwendung der Operatorbasis { σ i λ j } i j ≡ { σ i ⊗ λ j zerlegt } i j . Dies gibt Ihnen neue Koeffizienten d i j ≡ tr ( ( σ i ⊗ λ j ) A ) , die nicht mit c identisch sein müssen (und tatsächlich nicht sind)$A$$2\times 3$$\{\sigma_i\lambda_j\}_{ij}\equiv\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$$d_{ij}\equiv\operatorname{tr}((\sigma_i \otimes\lambda_j) A)$ .$c_{ij}$

Es gibt kein Paradoxon, weil und zwei völlig unterschiedliche Operatorgrundlagen für einen Raum der Dimension .$\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$$\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$$6$

Dies ähnelt im Wesentlichen der Eigenschaft der Nichtkommutativität des Kronecker-Produkts: :$X\otimes \lambda_6\neq \lambda_6\otimes X$

$$X\otimes\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&1 \\1&0\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}0&0&0 \\0&0&1 \\0&1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

Es überrascht nicht, dass Sie sich nicht zersetzen können inXλ6.$-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}I_2\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}XI_3 = \lambda_6X$$X\lambda_6$

Da jedoch beide Matrizen quadratisch sind, sind sie "permutationsähnlich", so dass für eine Permutationsmatrix $X\otimes \lambda_6=P^T\left(\lambda_6\otimes X\right)P$ $P$

Mit anderen Worten, um Teil 1 zu beantworten, ist die Zerlegung für eine gegebene Permutation / Ordnung eindeutig, aber wenn die Ordnung geändert wird, erfährt die Matrix / der Hamilton-Operator eine Rotation , die auch die Zerlegung ändert.$\left(P^T = P^{-1}\right)$

Es wird klar, was verwendet werden kann, um eine Matrix dieser Form durch Aufteilen in Untermatrizen zu zerlegen: durch Schreiben von wobei jede Untermatrix A , B , C und D eine 3 ist × 3 Matrix wird klar, dass A = D = 0 und B = C = λ 6 , was X λ 6 = ( 0 λ 6 λ verifiziert

$$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ $A, B, C$$D$$3\times 3$$A=D=0$$B=C=\lambda_6$ $$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&\lambda_6\\\lambda_6&0\end{pmatrix} = X\otimes \lambda_6$$

$$M=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ $$A=0,\quad B=C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\lambda_1$$

$B=C=\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8$

$$M=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\\\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8&\lambda_1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\left(I-Z\right)\otimes\lambda_1 + X\otimes\left(\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\right).$$

$$M=\begin{pmatrix}A&&B&&C\\D&&E&&F\\G&&H&&J\end{pmatrix},$$ $A=B=C=D=E=G=J=0$$F=H=X$ $$M=\begin{pmatrix}0&&0&&0\\0&&0&&X\\0&&X&&0\end{pmatrix}=\lambda_6\otimes X$$