Numerische Methoden zum Invertieren integraler Transformationen?

Eine ziemlich einfache Methode wäre, eine Basis im Funktionsraum zu wählen und die integrale Transformation in eine Matrix umzuwandeln. Dann können Sie einfach die Matrix invertieren.

Mathematisch funktioniert das folgendermaßen: Sie benötigen einen Satz orthonormaler Basisfunktionen . (Sie können davonkommen, ohne dass sie auch normalisiert werden, aber es ist einfacher, dies zu erklären.) Orthonormal bedeutet, dass das innere Produkt , wo $T_i(x)$ $\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

\begin{matrix} (1) & ⟨ T_{i}, T_{j} ⟩ \equiv \int_{a}^{b} W (x) T_{i} (x) T_{j} (x) d x = δ_{i j} \end{matrix}

$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$

Hier ist eine Gewichtsfunktion. Das und die Grenzen und hängen von Ihrer Wahl von . Sobald Sie ausgewählt haben, welche Basisfunktionen verwendet werden sollen, können Sie die Grenzwerte und die Gewichtsfunktion in Ihrem Programm fest codieren. $W(x)$ $a$ $b$ $T_i$

Mit der Orthonormalität können Sie jede Funktion wie und als lineare Kombinationen dieser Basisfunktionen ausdrücken : $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} (2) & f (x) & = \sum_{i} c_{i} T_{i} (x) & F (y) & = \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$

wobei die Koeffizienten berechnet werden als

\begin{aligned} (3) & c_{i} & = ⟨ f, T_{i} ⟩ = \int_{a}^{b} W (x) f (x) T_{i} (x) d x \\ (4) & C_{j} & = ⟨ F, T_{j} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) F (y) T_{j} (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$

Sie können überprüfen, ob diese Ausdrücke mit den Definitionen der Koeffizienten übereinstimmen, Gl. (2) und die Orthonormalität, Gl. (1).

Berechnen Sie nun die Transformation jeder der Basisfunktionen. Nennen wir es . $\tilde{T}_i(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) \equiv \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x

$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$

$\tilde{T}_i(y)$ ist eine Funktion, und so können Sie sie wie bei und als lineare Kombination der Basisfunktionen ausdrücken : $f(x)$ $F(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) = \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y)

$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$

wobei die Matrixelemente die gleiche Weise bestimmt werden, wie wir und oben gefunden haben: $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$

\begin{matrix} (5) & A_{i k} = ⟨ {\tilde{T}}_{i}, T_{k} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) {\tilde{T}}_{i} (y) T_{k} (y) d y \end{matrix}

$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$

In der Praxis ist dies ein ziemlich icky Doppelintegral, aber Sie müssen es nur einmal (jemals) für jede Kombination von und tun . Sie können die Integrale numerisch ausführen und dann die resultierenden Werte in Ihrem Programm fest codieren. (Randnotiz: Mit einer cleveren Auswahl von und können Sie es möglicherweise so gestalten, dass das Integral symbolisch ausgeführt werden kann. Ob dies möglich ist, hängt von Ihrer Transformation ab. Sie können dies mit dem Fourier tun transformieren, aber ich neige dazu zu glauben, dass es für die Transformation, nach der Sie hier fragen, nicht möglich ist.) $i$ $k$ $T_i(x)$ $W(x)$

In Bezug auf die Matrixelemente und die Koeffizienten und sich die Beziehung zwischen und auf ein lineares System $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$ $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} \overset{F (y)}{\overset{⏞}{\sum_{j} C_{j} T_{j} (y)}} & = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) \overset{f (x)}{\overset{⏞}{\sum_{i} c_{i} T_{i} (x)}} d x \\ = \sum_{i} c_{i} \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x \\ = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y) \end{aligned}

$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$

Aufgrund der Orthogonalität der Basisfunktionen können Sie einen bestimmten Koeffizienten isolieren, indem Sie das innere Produkt beider Seiten mit : $C_{\ell}$ $T_{\ell}$

\begin{aligned} ⟨ (\sum_{j} C_{j} T_{j}), T_{ℓ} ⟩ & = ⟨ (\sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k}), T_{ℓ} ⟩ \\ \int_{a}^{b} W (y) \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \int_{a}^{b} W (y) \sum_{i} c_{i} \sum_{j} A_{i k} T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} \int_{a}^{b} W (y) T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} \int_{a}^{b} W (y) T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} δ_{j ℓ} & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} δ_{k ℓ} \\ C_{ℓ} & = \sum_{i} c_{i} A_{i ℓ} \end{aligned}

$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$

Natürlich ist nur ein Dummy-Index, also werde ich ihn wieder . $\ell$ $C_j$

Dies ist nur ein lineares Algebra-Problem. ist eine Komponente eines Vektors, ebenso wie , und sind Komponenten einer Matrix. Sie können aus der Funktion berechnen, die Sie mit Gl. (3), und Sie kennen aus der einmaligen Berechnung, die Sie für diese bestimmte Integraltransformation durchgeführt haben, Gl. (5), so dass Sie die können, indem Sie eine Matrixmultiplikation durchführen (in der Computer sehr gut sind) und dann die Funktion aus denen rekonstruieren, die Gl. (2). $C_j$ $c_i$ $A_{ij}$ $c_i$ $A_{ij}$ $C_j$ $F(y)$

die inverse Transformation , beginnen Sie mit der Funktion und berechnen die daraus mit Gl. (4), und dann müssten Sie das lineare System lösen $F(y)$ $C_j$

C_{j} = \sum_{i} c_{i} A_{i j}

$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$

Dies kann durch Multiplizieren beider Seiten mit der Umkehrung der Matrix . In der Praxis gibt es jedoch effizientere Möglichkeiten, dies zu tun. Verwenden Sie den linearen Systemlöser der verfügbaren linearen Algebra-Bibliothek. $A$

Beachten Sie, dass alles, was ich bisher geschrieben habe, die Grenzen der Summen über , usw. nicht spezifiziert hat. In der Praxis müssen Sie einige Grenzwerte auswählen, z. B. bis (Sie wählen ), sodass jedes Sie stoßen können, durch eine lineare Kombination von ausreichend gut angenähert werden und auch einen Bereich wie bis so dass jedes durch eine lineare Kombination von ausreichend gut angenähert werden kann . Es ist wahrscheinlich am einfachsten, zu wählen $i$ $j$ $1$ $N$ $N$ $f(x)$ $T_1(x),\ldots,T_N(x)$ $1$ $M$ $F(y)$ $T_1(y),\ldots,T_M(y)$ $M = N$ . Hier liegt es an Ihnen, was "ausreichend gut" bedeutet. Im Allgemeinen ist Ihre Annäherung umso besser , je größer Sie und machen. Je mehr Speicher (und Zeit) Sie für die Berechnung benötigen. Denken Sie daran , dass Sie müssen zur Berechnung Koeffizienten und für die Matrix müssen Sie haben Koeffizienten berechnet, von bis . $M$ $N$ $N$ $c_i$ $A$ $M\times N$ $A_{11}$ $A_{NM}$

Für Funktionen, die in einem endlichen Intervall definiert sind und linear auf , sind die Chebyshev-Polynome eine häufige Wahl für . In gewisser Weise erzeugen Chebyshev-Polynome die genaueste Annäherung einer gegebenen Funktion unter Verwendung einer festen Anzahl von Begriffen, was sie für diese Art der Anwendung besonders gut geeignet macht. Wenn Sie die Domäne Ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilungen abschneiden können, können Sie diese möglicherweise verwenden. Sie sind mit dem Gewicht und den Grenzen und . (Beachten Sie, dass in der häufig angegebenen Form die Normalisierung so ist, dass $[-1,1]$ $T_i$ $W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $a = -1$ $b = 1$ $\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$ für und , müssen Sie dies möglicherweise in Ihrem Code berücksichtigen.) $i = j\neq 0$ $\langle T_0, T_0\rangle = \pi$

David Z.
quelle

Numerische Methoden zum Invertieren integraler Transformationen?

Antworten: