Gibt es einen numerischen Algorithmus zum Auffinden einer asymptotischen Steigung?

Ich habe eine Reihe von Datenpunkten denen ich erwarte, dass sie (ungefähr) einer Funktion folgen , die zu einer Linie im großen asymptotisch ist . Im Wesentlichen nähert sich Null, wenn , und dasselbe kann wahrscheinlich von allen Ableitungen , gesagt werden. usw. Aber ich weiß nicht, wie die funktionale Form für lautet, wenn sie überhaupt eine hat, die mit elementaren Funktionen beschrieben werden kann.y ( x ) $(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$$f(x)$

Mein Ziel ist es, die bestmögliche Schätzung der asymptotischen Steigung . Die offensichtliche grobe Methode besteht darin, die letzten Datenpunkte auszuwählen und eine lineare Regression durchzuführen, aber dies ist natürlich ungenau, wenn innerhalb des Bereichs von für den ich Daten habe, nicht "flach genug" wird . Die offensichtliche weniger grobe Methode besteht darin, anzunehmen, dass (oder eine andere bestimmte funktionale Form) und unter Verwendung aller Daten, aber der einfachen Funktionen, die ich ausprobiert habe, wie passen oder stimmen nicht ganz mit den Daten am unteren überein, wo$a$$f(x)$$x$$f(x) \approx \exp(-x)$$\exp(-x)$$\dfrac1{x}$$x$$f(x)$ist groß. Gibt es einen bekannten Algorithmus zur Bestimmung der asymptotischen Steigung, der besser geeignet wäre, oder der einen Wert für die Steigung zusammen mit einem Konfidenzintervall liefern könnte, da ich nicht genau weiß, wie sich die Daten der Asymptote nähern?

Diese Art von Aufgabe taucht in meiner Arbeit mit verschiedenen Datensätzen häufig auf, daher bin ich hauptsächlich an allgemeinen Lösungen interessiert, aber auf Anfrage verweise ich auf den bestimmten Datensatz , der diese Frage aufgeworfen hat. Wie in den Kommentaren beschrieben, gibt der Wynn Algorithmus einen Wert an, der, soweit ich das beurteilen kann, etwas abweicht. Hier ist eine Handlung:$\epsilon$

(Es sieht so aus, als ob es bei hohen x-Werten eine leichte Abwärtskurve gibt, aber das theoretische Modell für diese Daten sagt voraus, dass sie asymptotisch linear sein sollten.)

Es ist ein ziemlich grober Algorithmus, aber ich würde das folgende Verfahren für eine grobe Schätzung verwenden: Wenn, wie Sie sagen, das angebliche , das Ihr zunehmendem bereits fast linear ist , was ich ' Nehmen Sie dazu die Differenzen und verwenden Sie dann einen Extrapolationsalgorithmus wie die Shanks-Transformation , um die Grenze der Differenzen zu schätzen. Das Ergebnis ist hoffentlich eine gute Schätzung dieser asymptotischen Steigung.( x i , y i ) x y i + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

Was folgt, ist eine Mathematica- Demonstration. Der Wynn Algorithmus ist eine praktische Implementierung der Shanks-Transformation und als (versteckte) Funktion integriert . Wir probieren das Verfahren an der Funktion aus$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

Ich könnte genauso gut zeigen, wie einfach der Algorithmus ist:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Diese Implementierung wurde von Weniger übernommen .