Gibt es einen effizienten Algorithmus für matrixwertige fortgesetzte Brüche?

Angenommen, ich habe eine rekursiv definierte Matrixgleichung als

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

Dann ähnelt die Gleichung für A [1] einer fortgesetzten Fraktion, für die es einige hocheffiziente Methoden gibt, die eine mühsame Neuberechnung vermeiden (siehe "Numerische Rezepte" für einige Beispiele).

Ich frage mich jedoch, ob es analoge Methoden gibt, die es erlauben, dass die Koeffizienten b [n] und a [n] Matrizen sind, mit der einzigen Einschränkung, dass b [n] A [n + 1] eine quadratische Matrix ist, so dass die Matrix

1 - b[n]A[n+1]

ist eigentlich umkehrbar.

algorithms Lagerbaer
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Dies ist die Frage, die Sie in Mathe gestellt haben. SE ein paar Monate zuvor, nein? Ist

Quadrat oder ein Rechteck?

A

$A$

Ich erinnere mich, dass jemand in den Kommentaren bei math.SE vorgeschlagen hat, dies hier zu erfragen, sobald die Beta online ist :) In meinem Spezialfall ist A rechteckig. Die rekursiven Gleichungen entsprechen einem hierarchischen Satz von Gleichungen, und die Anzahl von Größen wächst mit

. In meinem Fall ist die Dimension von A [n] nx (n-1)

n

$n$

Lagerbaer

Nur neugierig, wofür möchten Sie diese Anwendung verwenden?

Hjulle

Wenn ich Dysons Identität für einen bestimmten Hamilton-Operator verwende, werden in Kürze die Funktionen von Green generiert, die ich mit einem bestimmten Index

. Das Sammeln aller Funktionen mit demselben Index in einem Vektor

ermöglicht es mir,

Verwendung der Identität von Dyson und einer geeigneten Approximation zu schreiben . Die Verwendung eines Cut-Offs, so dass

für alle

ermöglicht es mir, Matrizen

zu finden, so dass

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

und diese Matrizen sind durch meine Gleichungen mit fortgesetzten Brüchen gegeben. Diese Technik kann zum Beispiel Gitter-Green-Funktionen für eng bindende Modelle berechnen.

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

Lagerbaer

Es ist nicht mein Fachgebiet, aber ich war vor einiger Zeit auf einem Seminar, auf dem etwas zu diesem Problem vorgestellt wurde. [Hier] [1] ist die einzige Spur, die ich online finden konnte. Ich weiß wirklich nicht, ob es hilft. [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

user189035

Antworten:

Die folgenden zwei Methoden werden in Funktionen von Matrizen angegeben: Theorie und Berechnung von Nicholas Higham, auf Seite 81. Diese Formeln werden ausgewertet

wobeieine quadratische Matrix ist.

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

Top-down-Methode:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

für j = 1: 2m

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

Ende

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

Bottom-up-Methode:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

für j = 2m - 1: - 1: 1

Löse für . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

Ende

$r_m=b_0I+Y_1$

Die Frage fragt nach einer Bewertung der allgemeineren Form

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

Dies kann durch eine einfache Verallgemeinerung der obigen Formeln bewertet werden; zum Beispiel wird die Bottom-up-Methode

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

für j = 2m - 1: - 1: 1

Löse für . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

Ende

. $r_m=b_0I+Y_1$

David Ketcheson
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Das sieht sehr interessant aus. Ich werde sehen, ob ich es auf mein spezifisches Problem anwenden kann, aber es beantwortet die Frage, da mein b [n] * A [n + 1] eine quadratische Matrix ist

Lagerbaer

X

$X$

Okay, ich habe es verallgemeinert.

David Ketcheson

Ich weiß, dass diese Antwort viele Annahmen macht, aber sie verallgemeinert zumindest Ihren Algorithmus:

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

Sobald wir Zersetzung gesagt haben, durch Induktion,

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

die in das Formular neu angeordnet werden kann

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

Jack Poulson
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