Darstellung von Eisenstein-Zahlen ohne Schwimmer

Ich habe ein Projekt, in dem ich quadratische Felder verwenden muss. Speziell Zahlen der Form mita,b∈Q.$a + b \sqrt{-3}$$a,b \in \mathbb{Q}$

Zum Beispiel sind hier die Primzahlen in Eisenstein-Ganzzahlen :

Ich möchte keinen Salbei verwenden. Ich möchte meinen eigenen Datentyp schreiben, um ihn einzubeziehen numpy. PARI wäre nützlich - aber es ist nicht kompatibel mit Python.

• Die Addition für diese Objekte ist ziemlich klar $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$$
• Die Multiplikation ist etwas heikler, aber wir können sie auch hart codieren $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$$
• Mein Datentyp muss auch die Teilung berücksichtigen. Nehmen wir der Einfachheit halber das Gegenteil: $$\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$$

Gibt es eine natürliche matrixbasierte Methode zum Codieren dieser Operationen, ähnlich wie in Form von 2 × 2- Matrizen geschrieben werden kann?$\mathbb{C}$$2 \times 2$

$$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$$

Vielleicht werde ich die Operationen mit den drei oben beschriebenen Operationen nur dreifach fest codieren. Irgendwelche Ideen?

Für $a+b\sqrt{-3}$

$$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$$

$a^2+3b^2$

Sie haben bereits überlegt, Tripel zu verwenden , von denen ich annehme , dass Sie Ganzzahlen und einen gemeinsamen Nenner verwenden würden. Dieser Ansatz kann auch in der Matrixdarstellung nützlich sein.

$a+b\omega$$\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$$\omega^2+\omega+1=0$$\omega$$\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$\omega$$1$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$a+b\omega$

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$$ $$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$$

Ich vermute, Sie wollen für alles eine exakte rationale Arithmetik, da Gleitkommafehler könnten$1/z$$\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$$z$

Unabhängig davon, wie Sie die Elemente Ihres Feldes darstellen, können Sie Operatoren in Python mit "magischen Methoden" überladen . Siehe auch diesen SO-Beitrag zum Erstellen eines eigenen numerischen Typs in Python.

Ich glaube nicht, dass es so viel mehr Arbeit geben würde, eine Darstellung eines Elements eines quadratischen Feldes entweder als 2 x 2-Matrix rationaler Zahlen oder als Paar rationaler Zahlen zu codieren, da die arithmetischen Operationen nicht so kompliziert sind. Ich vermute jedoch, dass der zweite Ansatz schneller sein wird.