Wie finde ich die inneren Eigenwerte mit der Krylov-Subraummethode?

Ich frage mich, wie man die Eigenwerte einer spärlichen Matrix in einem gegebenen Intervall [a, b] durch iterative Methode findet. Nach meinem persönlichen Verständnis ist es offensichtlicher, die Krylov-Subraummethode zu verwenden, um die extremen Eigenwerte zu finden, anstatt die inneren.

Die folgende Strategie heißt Shift and Invert und hängt von zwei wichtigen Fakten ab:

1. hat das gleiche Spektrum wie A , ist jedoch um τ nach unten verschoben, dh wenn λ ∈ σ ( A ) ist, dann ist λ - τ ∈ σ ( A - τ I ) .$A-\tau I$$A$$\tau$$\lambda \in \sigma(A)$$\lambda-\tau \in \sigma(A-\tau I)$
2. Unter der Annahme, dass invertierbar ist, hat die Matrix A - 1 ein Spektrum, das gleich der elementweisen Umkehrung des Spektrums von A ist , dh wenn λ ∈ σ ( A ), dann 1 / λ ∈ σ ( A - 1 ) .$A$$A^{-1}$$A$$\lambda \in \sigma(A)$$1/\lambda \in \sigma(A^{-1})$

Da werde den Teil desSpektrumsvonAverschoben haben, dernahe ana+$A-\frac{a+b}{2}I$$A$ in der Nähe des Ursprungs die Eigenwerte vonA in derNähe vona+$\frac{a+b}{2}$$A$ wird in(A-a+b)sehr groß sein$\frac{a+b}{2}$, und daher ist zu erwarten, dass ein Krylov-Algorithmus sie aufnimmt.$(A-\frac{a+b}{2}I)^{-1}$