Werden direkte Löser von der Bedingungsnummer einer Matrix beeinflusst?

Wenn ich ein relativ kleines Problem lösen würde, das heißt ein Problem, das mit einer direkten Methode wie LU behandelt werden kann, hat dann die Bedingungsnummer des linearen Operators Einfluss auf die Genauigkeit der Lösung?

Eines der Forschungsprobleme, an denen ich arbeite, konzentriert sich auf die Entwicklung von Optimierungstechniken zur Lösung linearer Gleichungssysteme, und die "Probleme", auf die ich stoße, sind, dass die Bedingungszahlen der Matrizen sehr hoch sein können.

Dies wäre ein wichtiger Faktor, den ich berücksichtigen müsste, wenn ich eine iterative Methode und einen Vorkonditionierer verwenden würde. Im Moment löse ich jedoch kleine Probleme (weniger als 1 Million Freiheitsgrade). Daher ist ein direkter Löser für den Augenblick angemessen.

$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

Bei iterativen Solvern wird die Matrixbedingungsnummer auch in Arithmetik mit unendlicher Genauigkeit angezeigt, da sie häufig die theoretische Konvergenzrate des Algorithmus vorgibt. Bei Direktlösern wird dies erst berücksichtigt, wenn Sie die Tatsache berücksichtigen, dass Ihr Computer mit endlicher Präzision arbeitet.