Die Berechnung der Bedingungszahl (auch wenn sie innerhalb eines Faktors von 2 angenähert wird) scheint dieselbe Komplexität zu haben wie die Berechnung einer Faktorisierung, obwohl es in dieser Richtung keine Theoreme gibt.
Aus einem spärlichen Cholesky-Faktor einer symmetrischen positiven bestimmten Matrix oder aus einer spärlichen Q R -Faktorisierung (mit implizitem Q ) einer allgemeinen quadratischen Matrix kann man die Bedingungsnummer in der Frobenius-Norm erhalten, indem man die spärliche inverse Teilmenge von ( R) berechnet T R ) - 1 , was viel schneller ist als die Berechnung der vollständigen Inversen. (Im Zusammenhang damit steht meine Arbeit: Hybride Normen und Grenzen für überbestimmte lineare Systeme, Linear Algebra Appl. 216 (1995), 257-266.
Http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf )R.Q R.Q.( R.T.R )- 1
Bearbeiten: Wenn dann ist in Bezug auf ein einheitlich invariantes Norn c o n d ( A ) = c o n d ( R ) = √A = Q R.Zur Berechnung spärlicher QR-Faktorisierungen siehe z.B.http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408.
Zur Berechnung der spärlichen Inversen siehe z. B. meine Arbeit: Eingeschränkte Maximum-Likelihood-Schätzung von Kovarianzen in spärlichen linearen Modellen, Genetics Selection Evolution 30 (1998), 1-24. https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf
Die Kosten betragen etwa das Dreifache der Kosten für die Faktorisierung.
c o n d( A ) = c o n d( R ) = c o n d( R.T.R )- -- -- -- -- -- -- -- -- -√.
Es ist sicherlich einfach, die Eigenwert / Eigenvektor-Zerlegung einer symmetrischen Matrix oder die SVD einer allgemeinen Matrix zur Berechnung der Bedingungsnummer zu verwenden, aber dies sind keine besonders schnellen Methoden, um fortzufahren.
condest
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Da die größten und kleinsten Eigenwerte / Singularwerte sehr schnell gefunden werden können (lange bevor die Tridiagonalisierung abgeschlossen ist), ist die Lanczos-Methode besonders nützlich, um die Bedingungsnummer zu berechnen.
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