Welche numerischen Methoden bewahren die Zeitumkehrsymmetrie?

Wenn ich ein physikalisches System, das eine Zeitumkehr - Symmetrie enthält (zum Beispiel eines Hamilton - Operator mit reell) und ich möchten die Differentialgleichungen lösen , welche Beschreiben Sie dieses System. Welchen Löser für ODEs sollte ich verwenden, um die Zeitumkehrsymmetrie beizubehalten (z. B. in Mathematica)? Welche Löser brechen diese Symmetrie? $H(x,p)=p^2/2m + V(x)$ $V(x)$

EDIT: Ich möchte diese Frage erweitern. Betrachten wir ein System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung Welche Integrationsmethode wird am besten verwendet, wenn das zugrunde liegende System eine Zeitumkehrsymmetrie enthält?

{\dot{a}}_{1} (t) = f_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{2} (t) = f_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{3} (t) = f_{3} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) ⋮

$\dot{a}_1 (t) = f_1(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_2(t) = f_2(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_3(t) = f_3(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \vdots$

ode time-integration symmetry Merlin1896
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Ich denke, dass ein Symplectic-Integrator den Trick machen könnte. Zum Beispiel Verlet-Integrator .

Nicoguaro

@nicoguaro Da ich Mathematica verwenden wollte: Ist eine Verlet-Methode enthalten?

Merlin1896

Ich habe Mathematica selbst kaum benutzt. Sie können diesen Beitrag

nicoguaro

Die Antwort von @nicoguaro (in den Kommentaren) ist korrekt. Wählen Sie es aus.

Inon

@RM fehlt in Ihrem vorherigen Kommentar ein "nicht"?

Federico Poloni

Antworten:

In dieser Situation möchte man normalerweise ein diskretes Analogon der Zeitsymmetrie beibehalten: Wenn die Zeitdiskretisierung angewendet wird, um zuerst vorwärts und dann zeitlich rückwärts zu lösen, wird der Anfangszustand wiederhergestellt. Dies gilt, wenn die Methode unter den folgenden Substitutionen unveränderlich ist:

Δ t \to - Δ t

$\Delta t \to -\Delta t$

a^{n + j} \to a^{n - j}

$a^{n+j} \to a^{n-j}$

$a^n$ $a(t^n)$

a^{n + 1} = a^{n} + Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^n + \Delta t f(a^n)$

a^{n} = a^{n - 1} + Δ t f (a^{n}) .

$a^n = a^{n-1} + \Delta t f(a^n).$

a^{n + 1} = a^{n - 1} + 2 Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^{n-1} + 2\Delta t f(a^n)$

David Ketcheson
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