Lösen von zwei inversen Problemen mit derselben Lösung

Ich habe zwei umgekehrte Probleme,

A_{1} x = b_{1} A_{2} x = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

Bisher habe ich sie unabhängig voneinander mithilfe der Tikhonov-Regularisierung gelöst und zwei Schätzungen für $x$ . In meinem Fall repräsentiert $x$ in beiden Gleichungen die gleiche Lösung. Ist es möglich, eine "simultane" Lösung durchzuführen? Im Idealfall würde ich die Antwort finden

min (‖ A_{1} x - b_{1} ‖^{2} + ‖ A_{2} x - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ x ‖^{2})

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

Wobei und die Identitätsmatrix wie bei der Tikhonov-Regularisierung (auch bekannt als Ridge-Regression) ist. Ich nehme an, ich könnte einfach den Durchschnitt beider Lösungen nehmen und mich fragen, ob es jedoch einen statistisch aussagekräftigeren Weg gibt, dies zu erreichen. $\Gamma = \alpha ~ I$ $I$

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem abnowack
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Wie ist die relative Genauigkeit der Messungen in und ? Möglicherweise müssen Sie skalieren, um dies anzupassen. Sind alle Messungen unabhängig? Korrelation kann Dinge komplizieren.

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

Brian Borchers

Im Moment ist alles modelliert, so dass ich und perfekt kenne , aber in der Praxis werde ich mit vielleicht 10x mehr Genauigkeit kennen. In diesem Schritt möchte ich jedoch davon ausgehen, dass ich beide gleichermaßen kenne und dass sie unabhängig sind.

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

abnowack

Was ist Ihre Frage hier? Es ist einfach, das Problem der kleinsten Quadrate mit drei Begriffen zu lösen, das Sie in Ihrer Frage angegeben haben.

Brian Borchers

Ist es? Wenn Sie in einer Antwort erklären, werde ich es richtig markieren. Ich benutze nur grundlegende Routinen wie den kleinsten quadratischen Löser von numpy . Ich habe keinen CS-Hintergrund, daher könnte mir etwas Offensichtliches fehlen.

abnowack

Lösen von zwei inversen Problemen mit derselben Lösung

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