Warum ist die Sprungintegration symplektisch und RK4 nicht, wenn letzteres genauer ist?

In einem System, in dem theoretisch Energie gespart werden sollte, würde die genaueste Simulation Energie sparen (sowie genaue Positionen, Geschwindigkeiten usw. angeben). RK4 ist genauer als Bocksprung, aber Bocksprung spart Energie und RK4 nicht. Warum ist das?

TL; DR: Es hängt davon ab, welche Genauigkeit Sie benötigen.

Energieeinsparung entspricht nicht automatisch der Genauigkeit. Angenommen, Sie möchten das Sonnensystem simulieren und verwenden einen Löser, der - um ein extremes Beispiel zu verwenden - das gesamte System jede Sekunde um einen Winkel dreht. Diese Lösungen sparen offensichtlich Energie, sind aber offensichtlich falsch.

Wenn Sie dagegen Himmelsbewegungen für eine ausreichend kurze Zeitspanne vorhersagen möchten, sind die Auswirkungen einer Runge-Kutta-Methode, die keine Energie spart, vernachlässigbar. Dies fordert vielmehr seinen Tribut von Langzeitsimulationen. Auf kurzen Zeitskalen liefert eine Runge-Kutta-Methode genauere Ergebnisse als ein Sprung - zumindest bei vergleichbarem Rechenaufwand.

Auf langen Zeitskalen liefert keine der beiden Methoden sehr genaue Ergebnisse im Sinne einer Vorhersage der genauen Zukunft eines Anfangszustands (der auch aufgrund des Schmetterlingseffekts schwierig werden kann). Die Sprungmethode liefert jedoch zumindest eine plausible Lösung, da die Energie erhalten bleibt. Dies reicht für viele Simulationen aus, bei denen das qualitative Verhalten der untersuchten Systeme von Interesse ist.