Gibt es Abkürzungen für die numerische Approximation von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, wenn diese autonom sind?

Bestehende Algorithmen zum Lösen von ODEs verarbeiten Funktionen , wobei . In vielen physikalischen Systemen ist die Differentialgleichung jedoch autonom, so dass , , wobei das weggelassen wird. Welche Verbesserungen können mit dieser vereinfachenden Annahme bei bestehenden numerischen Methoden festgestellt werden? Wenn zum Beispiel , wird das Problem zu und wir wenden uns einer völlig anderen Klasse von Algorithmen zur Integration eindimensionaler Integrale zu. Für besteht die maximal mögliche Verbesserung darin, die Dimension von reduziereny∈Rnd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$y≤Rntn=1t=≤d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ n>1$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$um 1, da der zeitabhängige Fall simuliert werden kann, indem an angehängt wird und die Domäne von von in .y y R n R n + $t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Ich würde sagen, eine wesentliche Verbesserung besteht darin, dass Sie im Rahmen von Zeitschrittansätzen, bei denen Sie Verwendung einer Lösungskarte propagieren , dies können Bestimmen Sie den Propagator (oder zumindest Teile davon) einmal und verwenden Sie ihn dann bei jedem Zeitschritt wieder.$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$$\mathcal{U}$

Im linearen Fall hätten Sie beispielsweise , wobei eine Matrix ist. Der Lösungsoperator besteht hauptsächlich aus einer Exponentialmatrix. Bei autonomen Systemen ist diese kostspielige Exponentialauswertung der Matrix nur einmal für die vollständige Ausbreitung erforderlich - im Gegensatz zu einem zeitabhängigen System, bei dem Sie diese Auswertung bei jedem Zeitschritt durchführen müssen.$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

Für nichtlineare Systeme ist es nicht so einfach, aber je nach Algorithmus können bestimmte kostspielige Auswertungen wiederverwendet werden.