Beispiel einer stetigen Funktion, die sich mit Polynomen nur schwer approximieren lässt

Für Unterrichtszwecke würde ich eine stetige Funktion einer einzelnen Variablen benötigen, die mit Polynomen "schwer" zu approximieren ist, dh man würde sehr hohe Potenzen in einer Potenzreihe benötigen, um diese Funktion gut "anzupassen". Ich möchte meinen Schülern die "Grenzen" dessen aufzeigen, was mit Potenzreihen erreicht werden kann.

Ich dachte darüber nach, etwas "lautes" zu basteln, aber anstatt mein eigenes zu rollen, frage ich mich nur, ob es eine Art Standard "schwierige Funktion" gibt, die die Leute zum Testen von Approximations- / Interpolationsalgorithmen verwenden, ähnlich wie die Optimierungs-Testfunktionen , die zahlreiche haben Lokale Minima, bei denen naive Algorithmen leicht hängen bleiben.

Entschuldigung, wenn diese Frage nicht gut formuliert ist; Bitte erbarme dich eines Nicht-Mathematikers.

Warum nicht einfach die Absolutwertfunktion anzeigen?

Näherung mit zB Legendre-Polynom-Erweiterung funktioniert, aber ziemlich schlecht :

Die Taylor-Expansion ist hier natürlich völlig nutzlos, da sie immer nur eine lineare Funktion liefert, die entweder immer abnimmt oder immer zunimmt (je nachdem, ob der Punkt, um den Sie expandieren, negativ oder positiv ist).

Es ist ein pathologischer Fall, aber Sie können immer auf die Weierstraß-Monsterfunktion zurückgreifen . Es wird ein weiter gefasster Punkt veranschaulicht, nämlich, dass nicht glatte Funktionen - z. B. mit einem Knick - schwer zu approximieren sind, da die Interpolationsfehlerschätzungen erfordern, dass die Funktion mehrmals differenzierbar ist. Mit anderen Worten, wenn Sie die Weierstrass-Funktion nicht zu sehr mögen, können Sie immer einfach wählen .$|x|$

Die Approximation wird nicht nur durch die zu approximierende Funktion erschwert, sondern auch durch das Intervall, in dem die Approximation "gut passen" soll. Und Sie sollten das Maß für eine "gute Anpassung" definieren, dh was ist der maximale (absolute oder relative) Fehler, den Sie tolerieren möchten?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

Polynome sind bei der Funktionsnäherung überraschend effektiv [1]. Wenn Sie mindestens eine Lipschitz-Kontinuität haben, konvergieren die Chebyshev-Annäherungen. Natürlich kann die Konvergenz langsam sein, und das ist der Preis, den wir für den Umgang mit einer nicht glatten Funktion zahlen.

Heutzutage sind Computer viel schneller als die Tage, an denen viele Bücher zur numerischen Analyse geschrieben wurden, und clevere Algorithmen haben die Geschwindigkeit weiter erhöht, so dass die Verwendung von mehr Begriffen möglicherweise nicht mehr so ​​schlecht ist wie früher.

Die pathologischen Beispiele wie die Weierstraß-Monsterfunktion sind vom theoretischen Standpunkt aus interessant, aber sie sind nicht repräsentativ für die meisten realen Anwendungszusammenhänge.

$|x|$$x=0$

Es ist wichtig, die Schwierigkeiten bei der Approximation mit Polynomen zu lehren, aber es ist auch wichtig, den Schülern mitzuteilen, dass wir Fehlerschätzungen und adaptive Algorithmen erstellen können, die sich mit diesen Problemen befassen.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

$y = sin(x)$