Wie ist der Stand der Technik bei hochoszillatorischen Integralrechnungen?

Wie ist der Stand der Technik bei der Näherung hochschwingender Integrale sowohl in einer Dimension als auch in höheren Dimensionen mit willkürlicher Präzision?

Ich bin nicht ganz mit der Vorgehensweise für Kubaturen (mehrdimensionale Integration) vertraut, daher beschränke ich mich auf Quadraturformeln.

Es gibt eine Reihe wirksamer Methoden zur Quadratur von Schwingungsintegralen. Es gibt Methoden, die für endliche Schwingungsintegrale geeignet sind, und es gibt Methoden für unendliche Schwingungsintegrale.

Für unendliche oszillatorische Integrale sind zwei der effektiveren Methoden die Longman-Methode und die modifizierte doppelt exponentielle Quadratur aufgrund von Ooura und Mori. (Siehe aber auch diese beiden Arbeiten von Arieh Iserles.)

Longmans Verfahren beruht auf der Umwandlung des Oszillationsintegrals in eine alternierende Reihe durch Aufteilen des Integrationsintervalls und anschließendes Summieren der alternierenden Reihe mit einer Sequenztransformationsmethode. Zum Beispiel, wenn ein oszillatorisches Integral der Form integriert wird

man rechnet dies in die wechselnde Summe um

Die Terme dieser alternierenden Summe werden mit einer Quadraturmethode wie Rombergs Schema oder der Gaußschen Quadratur berechnet. Longmans ursprüngliche Methode verwendete die Euler-Transformation , aber moderne Implementierungen ersetzen Euler durch leistungsstärkere Konvergenzbeschleunigungsmethoden wie die Shanks-Transformation oder die Levin-Transformation .

Das Methode der doppelten Exponentialquadratur führt dagegen eine geschickte Änderung der Variablen durch und verwendet dann die Trapezregel, um das transformierte Integral numerisch auszuwerten.

Für endliche oszillatorische Integrale, Piessens (einer der Mitwirkenden von QUADPACK) und Branders, in zwei Arbeiten eine Modifikation der Clenshaw-Curtis-Quadratur (dh die Konstruktion einer Chebyshev-Polynom-Expansion des nicht-oszillatorischen Teils des Integranden). Levins Methode verwendet dagegen eine Kollokationsmethode für die Quadratur. (Mir wurde gesagt, dass es jetzt eine praktischere Version der alten Standby-Methode von Filon gibt, aber ich habe keine Erfahrung damit.)

Dies sind die Methoden, an die ich mich spontan erinnere; Ich bin sicher, ich habe andere gute Methoden für oszillatorische Integrale vergessen. Ich werde diese Antwort später bearbeiten, wenn ich mich an sie erinnere.

$\sin(t)$$\exp(it)$$J_0(t)$$\exp(i g(t))$$w(t)$

Zunächst konzentrierten sich oszillatorische Integrationsmethoden auf bestimmte Oszillatoren. Wie JM sagte, gehören zu den bekanntesten Methoden die Filon-Methode und die Clenshaw-Curtis-Methode (diese beiden sind eng miteinander verwandt) für endliche Entfernungsintegrale sowie die auf Reihenextrapolation basierenden Methoden und die doppelt exponentielle Methode von Ooura und Mori für endliche Entfernungsintegrale.

In jüngerer Zeit wurden einige allgemeine Methoden gefunden. Zwei Beispiele:

1. $\exp(i g(t))$$w(t)$

2. Die Methode von Huybrechs und Vandewalle basiert auf einer analytischen Fortsetzung entlang eines komplexen Pfades, bei dem der Integrand nicht oszillierend ist ( Huybrechs und Vandewalle 2006 ).

Bei den allgemeineren Methoden ist keine Unterscheidung zwischen Methoden für endliche und unendliche Entfernungsintegrale erforderlich, da eine Verdichtungstransformation auf ein unendliches Entfernungsintegral angewendet werden kann, was zu einem endlichen Entfernungsoszillationsintegral führt, das mit der allgemeinen Methode, wenn auch mit adressiert werden kann ein anderer Oszillator.

Levins Methode kann auf mehrere Dimensionen ausgedehnt werden, indem man die Dimensionen und andere Wege durchläuft. Soweit ich weiß, haben alle in der Literatur beschriebenen Methoden Stichprobenpunkte, die ein äußeres Produkt der eindimensionalen Stichprobenpunkte oder einer anderen Sache sind das wächst exponentiell mit der Dimension, so dass es schnell außer Kontrolle gerät. Effizientere Methoden für hohe Dimensionen sind mir nicht bekannt. Wenn eine Probe auf einem dünnen Gitter in großen Dimensionen gefunden werden könnte, wäre dies in Anwendungen nützlich.

Das Erstellen von automatischen Routinen für allgemeinere Methoden kann in den meisten Programmiersprachen (C, Python, Fortran usw.) schwierig sein, in denen Sie normalerweise erwarten würden, dass Sie Ihren Integranden als Funktion / Routine programmieren und an die Integratorroutine übergeben, da dies umso mehr der Fall ist Allgemeine Methoden müssen die Struktur des Integranden kennen (welche Teile oszillierend aussehen, welche Art von Oszillator usw.) und können ihn nicht als "Black Box" behandeln.

Sie können auch die Arbeit von Marnix Van Daele und Co-Autoren überprüfen. Siehe zum Beispiel dies und das .