Komplexe numerische Analyse

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Welche numerischen Analysesituationen werden mehr / weniger stabil, haben eine schnellere / langsamere Konvergenz oder sind auf andere Weise ganz anders, wenn Funktionen komplexer Variablen anstelle von Funktionen realer Variablen behandelt werden?

algorithms vtt
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Ihre Frage ist nur ein bisschen vage ... Könnten Sie eine bestimmte "Situation" oder einen "Algorithmus" vorschlagen, die Sie sich vorgestellt haben? Es würde uns sehr helfen, Ihre Frage zu beantworten.
Paul
Der einzige Fall, in dem eine komplexe Zahl in den mir bekannten Zahlen erscheint, sind Maxwells Gleichungen, aber es gibt keine intrinsische Schwierigkeit, wenn nur einige Zahlen in . Wenn Sie jedoch alle komplexen Zahlen durch reelle Vektoren oder Matrizen ersetzen, wird die Multiplikation mit einer komplexen Zahl zur Multiplikation mit einer schrägsymmetrischen Matrix. Nicht, ob dies etwas impliziert. C
Shuhalo
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@Martin: Das komplexe Feld ist aufgrund des Grundsatzes der Algebra die natürliche Umgebung für Polynome. Da die Eigenwerte einer Matrix die Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms sind und im Allgemeinen selbst für reale Matrizen komplex sind, wird die lineare Algebra am natürlichsten auf dem komplexen Feld aufgebaut.
Jack Poulson
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Auf der anderen Seite sehen Sie zum Beispiel den Doppelverschiebungs-QR-Algorithmus, der genau doppelt verschiebt, um die Verwendung komplexer Arithmetik zu umgehen. Erleben Sie auch den quadratischen Jenkins-Traub-Algorithmus, mit dem komplexe Wurzeln von Polynomen jeweils zu einem konjugierten Paar gefunden werden sollen ...
JM
Ich bin etwas hin und her gerissen, weil es Zeiten gibt, in denen komplexe Zahlen für Buchhaltungszwecke im Grunde genommen nur als Paare reeller Zahlen behandelt werden, um die Mischung noch verwirrender zu machen.
Geoff Oxberry

Antworten:

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Die komplexe numerische Differenzierung ist im Gegensatz zur realen numerischen Differenzierung stabil.

Siehe Seiten 32-33 von "Applied and Computational Complex Analysis", Band 3, Peter Henrici,

"The Complex-Step Derivative Approximation", JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA und JUAN J. ALONSO,

und dieser Wikipedia-Artikel über komplexe variable Methoden zur numerischen Differenzierung.

vtt
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Darüber hinaus ist die numerische Verwendung der Cauchy-Differenzierungsformel manchmal ein praktikabler Algorithmus. Siehe auch die Methoden von Lyness und anderen, die von der schnellen Fourier-Transformation abhängen, um Taylor-Koeffizienten einer Funktion zu berechnen (dh eine Folge von Ableitungen bei einem bestimmten Wert auszuwerten).
JM
Gibt es aus Neugier neben dem Wikipedia-Artikel Online-Ressourcen, auf die Sie uns verweisen könnten?
Geoff Oxberry
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@Geoff: Dies und das befassen sich mit dem Lyness-Ansatz zur Differenzierung; Dieser Artikel von Squire und Trapp ist das Originalpapier, das den "komplexen Schritt" -Ansatz zur numerischen Differenzierung beschreibt.
JM
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Bei der komplexen Intervallarithmetik werden verschiedene Intervalltypen verwendet, z. B. rechteckig oder kreisförmig. Daher ist mehr zu beachten als bei der Verwendung realer Intervalle.

"Komplexe Intervallarithmetik und ihre Anwendungen", Miodrag Petković, Ljiljana Petković

vtt
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Warum sollten Sie Ihre eigene Frage dreimal beantworten, anstatt alle drei Kommentare gleichzeitig zu beantworten?
Jack Poulson
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Ein Artikel:

"Numerische Algorithmen basierend auf der Theorie der komplexen Variablen", JN Lyness - Proceedings of the 1967 22. Nationale Konferenz, 1967

vtt
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