Leistungsspektraldichte vs. Energiespektraldichte

Ich habe folgendes auf Wikipedia gelesen :

Spektrale Leistungsdichte:

Die obige Definition der Energiespektraldichte ist am besten für Transienten geeignet , dh für impulsartige Signale, für die die Fourier-Transformationen der Signale existieren . Für fortgesetzte Signale, die beispielsweise stationäre physikalische Prozesse beschreiben, ist es sinnvoller, eine Leistungsspektraldichte (PSD) zu definieren, die beschreibt, wie die Leistung eines Signals oder einer Zeitreihe wie im einfachen Beispiel auf die verschiedenen Frequenzen verteilt wird vorher gegeben.

Ich verstehe diesen Absatz nicht ganz. Der erste Teil sagt, dass " für einige Signale .. die Fourier-Transformation nicht existiert ".

Für welche Signale (in dem Kontext, den wir diskutieren) existiert die Fourier-Transformation nicht, und wir müssen daher auf die PSD zurückgreifen, anstatt die spektrale Energiedichte zu verwenden?
Warum können wir die spektrale Leistungsdichte nicht direkt berechnen? Warum müssen wir es schätzen ?
Schließlich habe ich zu diesem Thema etwas über Methoden gelesen, die Kayser-Fenster verwenden, wenn die PSD im Laufe der Zeit berechnet wird. Was ist der Zweck dieser Fenster bei der PSD-Schätzung?

power-spectral-density Amelio Vazquez-Reina
quelle

Eine kurze Antwort auf eine Ihrer Fragen: Für ein deterministisches Signal können Sie dessen spektrale Leistungsdichte berechnen. Die spektrale Leistungsdichte ist jedoch auch für stationäre Zufallsprozesse mit weitem Sinn definiert . In diesem Zusammenhang wird die PSD als Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion des Prozesses definiert. In diesem Szenario kennen Sie normalerweise nicht die genaue Autokorrelationsfunktion eines bestimmten zufälligen Prozesses, den Sie möglicherweise beobachten. Daher versuchen Sie, die PSD anhand Ihrer Beobachtungen abzuschätzen .

x (t)

$x(t)$

Jason R

Ein deterministisches Signal für das existiert, wird als (endliches) Energiesignal und dessen bezeichnet Fourier-Transformation existiert. Wenn die Grenze jedoch nicht existiert, muss die Fourier-Transformation nicht in dem Sinne existieren, dass ein divergierendes Integral ist . Wenn existiert, wird das Signal als Leistungssignal bezeichnet und sein Die Fourier-Transformation existiert in einem verallgemeinerten Sinne (was bedeutet, dass normalerweise Impulse beteiligt sind).

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

Dilip Sarwate

Antworten:

Der zufällige Prozess endet nie, ein nichtperiodisches Phänomen, daher macht es keinen Sinn, eine Fourier-Transformation seiner Realisierungen vorzunehmen, und ist auch nicht möglich. Wenn jedoch ein zufälliger Prozess stationär ist, ist es sicher, dass er über ein Frequenzband eine begrenzte Leistung hat. Hier stellt sich nun die Frage, wie man die Leistung dieses stationären Zufallsprozesses berechnet (Fourier-Transformation kann nicht direkt genommen werden). Also, was tun? Wir finden die Autokorrelationsfunktion des gegebenen Zufallsprozesses, dessen Fourier-Transformation immer existiert. Schließlich nehmen wir die Fourier-Transformation dieser Autokorrelationsfunktion, um die spektrale Leistungsdichte des gegebenen stationären Prozesses zu erhalten.

Wenn Sie die spektrale Leistungsdichte eines bestimmten stationären Prozesses über das Intervall von - bis Sie die Gesamtleistung, die in dem angegebenen zufälligen Prozess enthalten ist. $\infty$ $\infty$

Kaka
quelle

Als Sie sagten:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- warum ist das so? Und muss es unbedingt stationär sein , um über ein Frequenzband eine endliche Leistung zu haben?

Amelio Vazquez-Reina

Staionäre Prozesse haben immer einen endlichen Mittelwert und eine endliche Varianz. Dies bedeutet, dass der staionäre Prozess immer eine endliche Macht hat. Da die Leistung endlich ist, bedeutet dies, dass die spektrale Leistungsdichte des stationären Prozesses über ein Frequenzband endlich ist. (Frequenzband kann unendlich sein).

Kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Das ist falsch. Ein Gegenbeispiel finden Sie im zweiten Absatz dieser Antwort .

Dilip Sarwate