Ich habe jemandem erklärt, wie Fourier-Reihen im Kontext der Konstruktion von Signalen funktionieren, die nicht überall differenzierbar sind, z. B. Rechteckwellen, Sägezahnwellen usw. Als ich jedoch das Gibbs-Phänomen erwähnte, wurde mir klar, dass ich nie wirklich erfahren habe, warum es passiert. Tatsächlich hat nicht jeder gemerkt, dass es sich um eine tatsächliche mathematische Eigenschaft einer unendlichen Reihe von periodischen Signalen und nicht um einen rechnerischen Zufall handelt, und es stellt sich heraus, dass die meisten Beweise ziemlich mühsam und aufwändig sind.
Nachdem ich einige von ihnen gelesen hatte, begann ich zu begreifen, warum ein solches Phänomen auftreten könnte, aber ich habe einen Hintergrund in realer und komplexer Analyse, Topologie und so weiter. Die Frage ist, ob ich jemandem, der nur die grundlegenden Grundrechenkurse in seinem Arsenal hat (oder andere allgemeine Voraussetzungen für einen Grundkurs zur Signalverarbeitung), das Gibbs-Phänomen vollständig erklären und rigoros beweisen kann. Wenn ja, wie dann?
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Das Buch "Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills" von P. Nahin, Princeton University Press, führt zu einer Erklärung der Gibbs-Phänomene, die für jemanden mit einem guten mathematischen Hintergrund auf Universitätsniveau geeignet sein könnten.
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Sie können immer sagen, dass sin und cos die Form eines Kreises haben und niemals die Form einer scharfen Kante, unabhängig von der Häufigkeit des Arguments. Deshalb müssen Sie unendlich viele davon bekommen, um ein Rechteck zu zeichnen :)
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