Differenz zwischen diskreter Zeit-Fourier-Transformation und diskreter Fourier-Transformation

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Ich habe viele Artikel über DTFT und DFT gelesen, aber ich kann den Unterschied zwischen den beiden nicht erkennen, bis auf ein paar sichtbare Dinge wie DTFT geht bis ins Unendliche, während DFT nur bis N-1 ist. Kann jemand bitte den Unterschied erklären und wann man was benutzt? Wiki sagt

Die DFT unterscheidet sich von der zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT) dadurch, dass ihre Eingangs- und Ausgangssequenzen beide endlich sind; Man spricht daher von der Fourier-Analyse von zeitdiskreten Funktionen mit endlichen Domänen (oder periodischen Funktionen).

Ist das der einzige Unterschied?

Edit: Dieser Artikel erklärt schön den Unterschied

BaluRaman
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Die DTFT ist eine kontinuierliche Funktion der Frequenz, aber die DFT ist eine diskrete Funktion der Frequenz.
John
Der entscheidende Punkt istDFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime
@nmxprime Du meinst, DFT ist eine abgetastete Version von DTFT?
Endolith
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@ Endolith Yes.it ist
nmxprime
Der Artikel, den Sie verlinkt haben (Seite 2), besagt, dass "CTFT uns ein diskretes Frequenzspektrum gegeben hat". Ist das nicht falsch Ich dachte, die Frequenz sei in diesem Fall eines zeitkontinuierlichen aperiodischen Signals, das der Fourier-Transformation unterzogen wird, kontinuierlich.
Aditya P

Antworten:

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Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) ist die (herkömmliche) Fourier-Transformation eines zeitdiskreten Signals. Die Ausgabe erfolgt kontinuierlich in Frequenz und periodisch. Beispiel: Um das Spektrum der abgetasteten Version eines zeitkontinuierlichen Signals x ( t ) zu finden, kann die DTFT verwendet werden.x(kT)x(t)

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) kann als abgetastete Version (im Frequenzbereich) des DTFT-Ausgangs angesehen werden. Es wird verwendet, um das Frequenzspektrum eines zeitdiskreten Signals mit einem Computer zu berechnen, da Computer nur eine begrenzte Anzahl von Werten verarbeiten können. Ich würde dagegen argumentieren, dass die DFT-Ausgabe endlich ist. Es ist auch periodisch und kann daher unendlich fortgesetzt werden.

Etwas zusammenfassen:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Eine mathematische Eigenschaft der DFT ist, dass sowohl ihre Eingabe als auch ihre Ausgabe mit der DFT-Länge periodisch sind . Das heißt, obwohl der Eingangsvektor für die DFT in der Praxis endlich ist, ist es nur richtig zu sagen, dass die DFT das abgetastete Spektrum ist, wenn angenommen wird, dass die DFT-Eingabe periodisch ist.N

Deve
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bedeuten , nicht wahr , dass die DTFT Eingabe in endlichen?
Dr. Lutz Lehmann
@LutzL Es kann generell unendlich sein, ja. Ich werde das ändern. Was ist mit der DFT-Ausgabe: Würden Sie sie lieber als endlich oder periodisch bezeichnen ?
Deve
Ich denke, die Ausgabe von DFT ist N-periodisch, endliche Sequenz
BaluRaman
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In der DFT hängt vieles von der Interpretation ab. Aus technischer Sicht wandelt es sich von endlich zu endlich. Unter dem Gesichtspunkt, dass es die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms berechnet, könnte man sagen, dass es unendliche diskrete Perioden in endliche umwandelt. Man kann aber das Fenster der Frequenzen verschieben, die zur Darstellung des Eingangs verwendet werden, und die Amplituden über alle möglichen Frequenzen bilden wieder eine periodische Folge.
Dr. Lutz Lehmann
Um konsistenter zu sein, würde ich für die Eingabe der DFT "periodisch" anstelle von "endlich" setzen. Dies ist eine direkte Folge davon, dass die DFT (Ausgabe) diskret ist.
Matt L.
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In Ordnung, ich werde das mit einem Argument beantworten, das "Gegner" meiner starren nazi-artigen Position in Bezug auf die DFT haben.

vor allem, meine starre, nazi-ähnlicher Position : die DFT und diskrete Fourier - Serie ist ein-und-die-gleiche. Die DFT ordnet eine unendliche und periodische Sequenz x[n] mit der Periode N in der "Zeit" -Domäne einer anderen unendlichen und periodischen Sequenz X[k] , wiederum mit der Periode N in der "Frequenz" -Domäne. und die iDFT ordnet es zurück. und sie sind "injektiv" oder "invertierbar" oder "eins zu eins".

DFT:

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

iDFT:

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

das ist im Grunde genommen die DFT. es ist von Natur aus eine periodische oder kreisförmige Sache.

Aber die Periodizitätsleugner sagen dies gern über die DFT. es ist wahr, es ändert einfach nichts an dem oben Gesagten.

Nehmen wir also an, Sie hätten eine Folge endlicher Länge x[n] der Länge N und anstatt sie periodisch zu erweitern (wie es die DFT von Natur aus tut), hängen Sie diese Folge endlicher Länge mit Nullen unendlich links und rechts an. so

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

nun, diese sich nicht wiederholende unendliche Folge hat eine DTFT haben:

DTFT:

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω) ist die Z-Transformation von die auf dem Einheitskreis für unendlich viele reelle berechnet wird Werte von . Nun, wenn Sie die DTFT an gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Einheitskreis abtasten würden, mit einem Punkt bei würden Sie bekommen x [n]z=ejωx^[n]z=ejωωX^(ejω)Nz=ejω=1

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

Genau so hängen DFT und DTFT zusammen. Durch Abtasten der DTFT in gleichmäßigen Intervallen in der "Frequenz" -Domäne wird in der "Zeit" -Domäne die ursprüngliche Sequenz wiederholt und um alle Vielfachen von verschoben und überlappend addiert. Das ist es, was eine einheitliche Abtastung in einer Domäne in der anderen Domäne bewirkt. Da aber die Hypothese aufgestellt wird, daß außerhalb des Intervalls , das Überlappungsschöpf tut nichts. es erweitert nur periodisch den Nicht-Null-Teil von , unserer ursprünglichen Sequenz endlicher Länge, .x^[n]N x [n]00nN-1 x [n]x[n]x^[n]00nN1x^[n]x[n]

Robert Bristow-Johnson
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Die akzeptierte Antwort war gut, aber ich fand Ihre Antwort aufschlussreicher. Vielen Dank für die Bereitstellung der tatsächlichen mathematischen Verbindung zwischen der DTFT und der DFT ... insbesondere für die Abtastung der Spektren, die Periodizität im Zeitbereich verursachen. Das ist ein Punkt, den ich immer vergesse.
rayryeng - Wiedereinsetzung von Monica
Ihr zweiter Absatz scheint zu implizieren, dass DFTs Eingabesequenzen mit unendlicher Länge akzeptieren. Hat jemals jemand eine DFT mit unendlicher Länge durchgeführt?
Richard Lyons
Hey Rick, es ist schön dich hier von comp.dsp zu sehen . Ich erinnere mich, dass ich von @PeterK begrüßt wurde, als ich zum ersten Mal übergelaufen bin (aber ich werde comp.dsp nie verlassen ). In gleichem Maße, in dem die DFS eine Eingabesequenz von unendlicher Länge akzeptiert, ist dies der Grad, in dem die DFT eine Eingabe von unendlicher Länge akzeptiert. Ich sage nur, dass die DFT und die DFS ein und dasselbe sind.
Robert Bristow-Johnson
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@ Robert Bristow-Johnson. Das war eine schöne Erklärung. Meine Frage mag schlecht sein, aber mit diskreten Fourierreihen beziehen Sie sich auf den Fall, in dem die Eingabe eine kontinuierliche periodische Funktion ist, die unendlich in beide Richtungen weitergeht, richtig? Soweit ich mich erinnere, kann die Fourier-Reihe nach dem Lesen von George Silovs Dover-Buch eine periodenkontinuierliche Funktion beliebig genau reproduzieren, wenn Sie die Anzahl der Fourier-Koeffizienten unter Verwendung eines ausreichend feinen Frequenzgitters groß genug machen. Dies ist das fs, auf das Sie sich beziehen, wenn Sie sagen, dass es dasselbe wie DFT ist, richtig? Danke.
mark leeds
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]X[k]Nx[n+N]=x[n]
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N X [ k + N ] = X [ k ]
x[n+N]=x[n]nZ
N
X[k+N]=X[k]kZ
Nist eine positive ganze Zahl. Das ist alles, was ich mit der DFS meine.
Robert Bristow-Johnson
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Da die DTFT-Ausgabe kontinuierlich ist, kann sie nicht mit Computern verarbeitet werden. Wir müssen dieses kontinuierliche Signal also in diskrete Form umwandeln. Es ist nichts anderes als DFT als eine weitere Weiterentwicklung von FFT, um Berechnungen zu reduzieren.

Gaurav Singhal
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Wenn ich richtig liege, wird die DFT-Eingabe, auch wenn die Anzahl der Abtastungen endlich ist, von der Mathematik dahinter als unendliche Folge behandelt, die die NAbtastungen nach ihrer Beendigung periodisch beginnt . Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

ubuntu_noob
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Einige auf comp.dsp , mit denen ich argumentiert habe, könnten Sie "korrigieren", aber sie sind falsch. Es gibt keinen Unterschied zwischen der DFT und der Discrete Fourier Series. überhaupt keine.
Robert Bristow-Johnson
Um zu verstehen, was hier gesagt wird, habe ich eine Frage zur Ausgabe der Operation, die Sie als "diskrete Fourier-Reihe" bezeichnen. Ist das eine Folge von Zahlen oder eine stetige Funktion (eine Gleichung)?
Richard Lyons
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X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
user25761
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Verwenden Sie Latex-Markup, damit Ihre Mathematik lesbar ist, und erläutern Sie den von Ihnen verfolgten Prozess ein wenig genauer, damit Ihre Antwort dem OP tatsächlich helfen kann.
MBaz