Was sind Pole und Nullen?

Das Konzept der Pole und Nullen in Filtern wurde mir während unseres Labors (unser Labor ist nicht mit unserer Vorlesung synchronisiert) durch die Pol-Null-Plot-Generierung von Filtern in MATLAB vorgestellt. Ich habe seine Bedeutung erst verstanden, als in unserer Vorlesung erwähnt wurde, dass Pole die Gleichung unendlich machen (oder ihren Nenner Null), während die Nullen die Wurzeln im Zähler Null machen. Ich kann immer noch nicht genau verstehen, was Pole und Nullen sind. Kann jemand eine intuitive und einfache Erklärung geben, was Pole und Nullen sind? Sehr geschätzt.

Nehmen Sie die Gleichung b / (xc) mit b ungleich Null. Das Verhältnis geht gegen unendlich, wenn sich x c nähert. C ist also die Position einer Stange (etwas Großes und Spitzes in einem Diagramm).

Nehmen Sie die Gleichung (xb) / c mit c ungleich Null. Das Verhältnis geht auf Null, wenn x sich b nähert. B ist also der Ort von etwas, das allgemein als "Null" bezeichnet wird.

Sie können dies nicht nur mit skalarem x tun, sondern auch mit komplexem x. Daher liegt die Domäne der Pole und Nullen auf einer (komplexen) Ebene anstatt auf einer Linie.

Wenn das Verhältnis etwas über die Antwort eines Filters darstellt, könnte dies bedeuten, dass der Filterausgang bei oder nahe Null ist, wenn der Eingang bei oder nahe einer Antwort "Null" ist. Und schlimme Dinge können passieren, wenn x sich einem Pol nähert (die Stromversorgung beginnt zu rauchen, wenn sie aufgefordert wird, unendliche Verstärker zu liefern, mathematische Operationen erzeugen NaNs oder Festpunktüberläufe usw.)

Um die anderen guten Antworten zu ergänzen, fand ich die folgenden Grafiken hilfreich, um ein besseres intuitives Verständnis zu erlangen, insbesondere für die Pole und Nullen der Übertragungsfunktionen.

(UPDATE: Ich bin auch gerade auf diesen ähnlichen Beitrag von @Endolith gestoßen, der sehr gut ist: Wie Pole mit dem Frequenzgang zusammenhängen )

Unten ist die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters mit zwei Polen in der linken Halbebene dargestellt, die durch die Laplace-Transformation der Impulsantwort des Filters gegeben ist. Dies ist ein analoges System, aber äquivalente Darstellungen können für digitale Systeme in der Z-Domäne anstelle der S-Domäne durchgeführt werden.

Das Diagramm auf der linken Seite ist das typische Diagramm, das wir sehen, wenn wir in Pole und Nullen eingeführt werden, die ihre Position in der S-Ebene zeigen, wobei zu beachten ist, dass ein Pol der Wert für s ist, der die Gleichung X (s) ins Unendliche bringt, während eine Null ist der Wert für s, der die Gleichung X (s) auf Null bringt. Ja, dieses spezielle System hat auch zwei Nullen im Unendlichen, da diese Werte für s die Gleichung auf Null setzen.

Auf der rechten Seite befindet sich ein 3D-Diagramm, das die Größe von X (s) für alle Werte von s in der komplexen Ebene zeigt. Interessant ist, dass dies die einzige Darstellung ist, die sich aus einem solchen Verhältnis von Polynomen ergeben würde, so dass wir es einfach anhand der Pol- und Nullstellen vollständig beschrieben haben! Jeder Punkt auf dieser Oberfläche wird in diesem Fall einfach von den beiden angegebenen Polpositionen aus kommuniziert.

Insbesondere interessieren wir uns häufig für den Frequenzgang eines Filters oder Systems. s ist die Eingabe, die auf der komplexen Ebene reale und imaginäre Komponenten haben darf. Insbesondere wenn s a nur einen konstanten Imaginärwert hat, beschreiben wir eine konstante Frequenz. Also eine Scheibe entlang der$j\omega$ Die Achse in dem gezeigten 3D-Diagramm aller Größen würde die Größenantwort des Filters zeigen, wie in der oberen rechten Ecke des obigen Diagramms dargestellt (was äquivalent der Größe der Fourier-Transformation der Impulsantwort des Filters ist).

Was in der obigen 3D-Grafik nicht gezeigt wird, ist die "Region of Convergence", die alle Werte von s zeigt, bei denen die Laplace-Transformation gegen einen endlichen Wert konvergiert, je nachdem, ob das System kausal oder antikausal ist.

Die Übertragungsfunktion eines Netzwerks (Black Box) ist im Allgemeinen eine rationale Funktion mit einem Zähler- und einem Nennerpolynom. Nach dem Gaußschen Grundsatz der Algebra kann ein Polynom auch als Produkt der Polynomnullen geschrieben werden. Die Nullen des Nennerpolynoms erzeugen daher die Pole der Übertragungsfunktion (1 / Null = unendlich -> Pol). Die Nullen des Zählerpolynoms sind die Nullen der Übertragungsfunktion.

Siehe auch: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Zunächst sollten Sie eine Z-Ebene als eine Reihe komplexer Exponentialsignale sehen. Wenn$z = z_0$, dann entsprechendes diskretes Signal $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. Wenn$|z_0|<1$Es ist ein abklingendes Signal.

Zweitens werden Pole und Nullen verwendet, um ein IIR-System zu beschreiben, dh ein System mit einer Rückkopplung.

Nullen sind einfach: Wenn das System eine Null bei hat $z_0$, das heißt ein Signal definiert durch $z_0$auf einer z-Ebene durchläuft eine Rückkopplungsschleife und summiert sich streng phasenverschoben, was zu einer Nullausgabe führt. Pole sind etwas kniffliger: Wenn das System eine Pole hat$z_0$Dies bedeutet, dass ein System dieses Signal erzeugt, wenn es gestört ist und sich frei bewegt. Offensichtlich, wenn das System einen Pol zum Erhöhen des Signals hat ($|z_0|>1$), es ist instabil. Beim Entwerfen eines Filters sollten Nullen gesetzt werden, um unerwünschte Frequenzen zu unterdrücken. Die Stangen sind so platziert, dass

• Sie heben den Einfluss von Nullen auf die zu übergebenden Frequenzen auf
• Filter bleibt stabil