Was ist der Unterschied zwischen natürlicher Antwort und Null-Eingangsantwort?

Ich bin neu bei DSP und habe verschiedene Antworten eines Systems durchlaufen, das einer Eingabe unterzogen wurde. Mein Verständnis der Eingangsantwort Null ist: Es ist die Antwort / Ausgabe des Systems, wenn das Eingangssignal auf Null gesetzt wird. Mit anderen Worten, wenn ein System durch eine lineare Konstantkoeffizientendifferenzgleichung beschrieben wird, ist die Null-Eingangsantwort die homogene Lösung.

Wenn jedoch die Transformation der Eingabe eine rationale Funktion und die der LTI-Systemfunktion und das System wird anfänglich entspannt , dann ist . Unter der Annahme , deutliche Nullen (real nur) und Pol (real nur) von und , dann $\mathcal Z$ $X(z)=N(z)/Q(z)$ $H(z)=B(z)/A(z)$ $Y(z)= H(z)X(z) = N(z)B(z)/A(z)Q(z)$ $X(z)$ $H(z)$

Y (z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_{k}}{1 - p_{k} z^{- 1}} + \sum_{k = 1}^{L} \frac{Q_{k}}{1 - q_{k} z^{- 1}}

$Y(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-p_kz^{-1}} + \sum_{k=1}^L \frac{Q_k}{1-q_kz^{-1}}$

was gibt

y (n) = \sum_{k = 1}^{N} A_{k} (p_{k})^{n} u (n) + \sum_{k = 1}^{L} Q_{k} (q_{k})^{n} u (n)

$y(n) = \sum_{k=1}^N A_k(p_k)^{n}u(n) + \sum_{k=1}^L Q_k(q_k)^{n}u(n)$

wobei und die Pole des Systems bzw. des Eingangssignals sind und die Einheitsschrittfunktion ist. Der erste Term wird nun als natürliche Reaktion des Systems . Es ist sehr verwirrend, den Unterschied zwischen Null-Eingabe und natürlicher Reaktion zu erfassen. $p_k$ $q_k$ $H(z)$ $X(z)$ $u(n)$ $H(z)$

Bearbeiten: Die Referenz der Frage ist das Buch DSP: Prinzipien, Algorithmen und Anwendungen von John Proakis und D Manolakis. Das PDF des Buches befindet sich hier auf den Seiten 203 und 204. Die beiden Absätze nach Formel 3.6.4 erläutern den Unterschied zwischen der Antwort von Null und natürliche Reaktion

Vielen Dank an Peter und Matt für Ihre Antworten und Kommentare.

discrete-signals linear-systems z-transform poles-zeros rotierendes_Bild
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Ich denke, dass die Autoregression (siehe 'C. Zeitinvariante Systeme') auch für dasselbe Konzept verwendet wird.

Valentin Tihomirov

Antworten:

Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass viele Autoren die Begriffe Null-Eingabe-Antwort und natürliche Antwort als Synonyme verwenden. Diese Konvention wird im entsprechenden Wikipedia-Artikel und beispielsweise auch in diesem Buch verwendet . Selbst Proakis und Manolakis sind sich darüber nicht ganz klar. In dem von Ihnen zitierten Buch finden Sie den folgenden Satz auf Seite 97:

[...] Der Ausgang des Systems mit Null-Eingang wird als Null-Eingang-Antwort oder natürliche Antwort bezeichnet .

Dies legt nahe, dass die beiden Begriffe austauschbar verwendet werden können. Weiter unten auf der Seite finden wir den folgenden Satz:

Somit ist die Null-Eingangsantwort ein Merkmal des Systems selbst und wird auch als natürliche oder freie Antwort des Systems bezeichnet.

Dies deutet erneut stark darauf hin, dass die Autoren der Ansicht sind, dass beide Begriffe gleichwertig sind.

Auf den von Ihnen erwähnten Seiten scheinen sie jedoch einen Unterschied zwischen den beiden zu machen. Und der Unterschied ist wie folgt. Die Null-Eingangsantwort ist die Antwort, die durch Anfangsbedingungen ungleich Null verursacht wird. Dies hängt nur von den Systemeigenschaften und den Werten der Anfangsbedingungen ab. Die Null-Eingangsantwort wird Null, wenn die Anfangsbedingungen Null sind.

Die natürliche Antwort ist der Teil der Gesamtantwort, dessen Form nur durch die Pole des Systems bestimmt wird und der nicht von den Polen des (Transformation des) Eingangssignals abhängt. Die natürliche Reaktion hängt in Bezug auf Konstanten vom Eingangssignal ab, aber seine Form wird vollständig von den Polen des Systems bestimmt. Im Gegensatz zur Null-Eingangsantwort verschwindet die natürliche Antwort bei Null-Anfangsbedingungen nicht.

Die Gesamtantwort des Systems kann wie folgt geschrieben werden:

Null-Eingangsantwort + Null-Zustandsantwort
natürliche Reaktion + erzwungene Reaktion

Die Nullzustandsantwort ist die Antwort für Nullanfangsbedingungen, und die erzwungene Antwort ist der Teil der Antwort, dessen Form durch die Form des Eingangssignals bestimmt wird.

Ich hoffe, dass dies im folgenden Beispiel deutlich wird. Untersuchen wir das folgende System:

\begin{matrix} (1) & y [n] + a y [n - 1] = b^{n} u [n], y [- 1] = c \end{matrix}

$y[n]+ay[n-1]=b^nu[n],\qquad y[-1]=c\tag{1}$

Dabei ist die Einheitsschrittfolge. Die Gesamtantwort kann mit -Transformationstechniken berechnet werden : $u[n]$ $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & y [n] = [\frac{1}{a + b} b^{n + 1} + (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1}] u [n] \end{matrix}

$y[n]=\left[\frac{1}{a+b}b^{n+1}+\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}\right]u[n]\tag{2}$

Die Null-Eingangsantwort ist der Teil der Gesamtantwort, der durch die Anfangsbedingung bestimmt wird und der nicht von abhängt : $b$

\begin{matrix} (3) & y_{Z I} [n] = c (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_{ZI}[n]=c(-a)^{n+1}u[n]\tag{3}$

Offensichtlich ist für , dh für eine Anfangsbedingung von Null. $y_{ZI}[n]=0$ $c=y[-1]=0$

Die natürliche Reaktion ist der Teil der Gesamtreaktion, dessen Form durch den Pol des Systems bestimmt wird:

\begin{matrix} (4) & y_{N} [n] = (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_N[n]=\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}u[n]\tag{4}$

Beachten Sie, dass dies sowohl von den Anfangsbedingungen als auch vom Eingangssignal abhängt (über die Konstante ). $b$

Beachten Sie auch, dass die Form der Nullzustandsantwort sowohl von den Polen des Systems als auch von den Polen der Eingangssignaltransformation abhängt. Alle anderen hier erwähnten Antworten hängen nur von einem der beiden Polsätze ab. Die Formen der Null-Eingangsantwort und der natürlichen Antwort hängen nur von den Polen des Systems ab, während die Form der erzwungenen Antwort durch die Pole des Eingangssignals bestimmt wird. Der Ausdruck für $y[n]$ In Ihrer Frage von Proakis und Manolakis wird die Nullzustandsantwort zitiert (weil das System anfänglich in Ruhe ist), und die erste Summe ist die erzwungene Antwort, und die zweite Summe ist die natürliche Antwort. Da die Null-Eingangsantwort in diesem Fall Null ist, entspricht die Summe aus natürlicher Antwort und erzwungener Antwort (dh der Gesamtantwort) der Nullzustandsantwort

In mathematischen Begriffen ist die natürliche Antwort die homogene Lösung der Differenzgleichung, wobei die Konstanten so bestimmt werden, dass die Summe der jeweiligen Lösung (der erzwungenen Antwort) und der homogenen Lösung die gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Klar, die Null-Eingangsantwortist auch eine Lösung für die homogene Gleichung, aber der Unterschied zur natürlichen Antwort besteht darin, dass die Null-Eingangsantwort allein die Anfangsbedingungen erfüllt, da sie mit der Nullzustandsantwort kombiniert wird, die Null-Anfangsbedingungen annimmt. Andererseits erfüllt die natürliche Reaktion allein nicht die Anfangsbedingungen. Die Anfangsbedingungen werden nur erfüllt, indem die natürliche Antwort mit der bestimmten Lösung der Differenzgleichung kombiniert wird (letztere ist die erzwungene Antwort ).

Wie oben erwähnt, können wir die Gesamtlösung als schreiben

y [n] = y_{Z I} [n] + y_{Z S} [n]

$y[n]=y_{ZI}[n]+y_{ZS}[n]$

(Null-Eingangsantwort plus Null-Zustandsantwort)

und wie

y [n] = y_{N} [n] + y_{F} [n]

$y[n]=y_N[n]+y_F[n]$

(natürliche Reaktion plus erzwungene Reaktion). Für das gegebene Beispiel haben wir

y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[-1]=y[-1]$

dh es ist , das sich um den Anfangszustand kümmert. Das ist auch der Grund, warum wenn die Anfangsbedingung Null ist. muss die homogene Gleichung erfüllen $y_{ZI}[n]$ $y_{ZI}[n]=0$ $y_{ZI}[n]$

y_{Z I} [n] + a y_{Z I} [n - 1] = 0, y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[n]+ay_{ZI}[n-1]=0,\qquad y_{ZI}[-1]=y[-1]$

Wenn also , ist für alle . Die natürliche Antwort erfüllt auch die homogene Gleichung, jedoch nicht mit der Anfangsbedingung . Was erfüllt ist, ist $y[-1]=0$ $y_{ZI}[n]=0$ $n$ $y_N[-1]=y[-1]$ $y_N[-1]+y_F[-1]=y[-1]$ . Aus diesem Grund ist die natürliche Reaktion im Allgemeinen ungleich Null, selbst unter Anfangsbedingungen von Null. Und die natürliche Antwort ist die homogene Lösung, die wir mit der speziellen Lösung (erzwungene Antwort) kombinieren müssen, die auf die übliche Weise gefunden wird. Wir haben normalerweise keine direkten Mittel, um die spezifische Lösung zu finden, die in Kombination mit der speziellen homogenen Lösung, die durch die Null-Eingangsantwort dargestellt wird, die vollständige Lösung der Differenzgleichung ergibt. Dafür brauchen wir eine andere homogene Lösung, und dies ist die natürliche Antwort.

Die erneute Verwendung des obigen Beispiels wird dies hoffentlich klarstellen. Für ein exponentielles Forcierungssignal besteht die Standardmethode (und die einfachste Methode), um eine bestimmte Lösung zu erhalten, darin, eine skalierte Version der Forcierungsfunktion auszuwählen:

\begin{matrix} (A1) & y_{p} [n] = A b^{n} \end{matrix}

$y_p[n]=Ab^n\tag{A1}$

(Der Einfachheit halber lasse ich den Einheitsschritt weg , vorausgesetzt, wir betrachten , es sei denn, wir sprechen über die Anfangsbedingung). Die Konstante wird durch Einstecken von in die Differenzgleichung bestimmt: $u[n]$ $n\ge 0$ $A$ $(A1)$

A b^{n} + a A b^{n - 1} = b^{n}

$Ab^n+aAb^{n-1}=b^n$

Geben Sie . Die allgemeine Form der homogenen Lösung ist $A=\frac{b}{a+b}$

\begin{matrix} (A2) & y_{h} [n] = B (- a)^{n} \end{matrix}

$y_h[n]=B(-a)^n\tag{A2}$

Natürlich ist (dh ) eine spezifische Lösung, aber das ist nicht die, nach der wir suchen. Wir müssen die Konstante so bestimmen , dass die Summe der jeweiligen und der homogenen Lösung die Ausgangsbedingung erfüllt: $y_h[n]=0$ $B=0$ $B$

y [- 1] = y_{p} [- 1] + y_{h} [- 1] = \frac{A}{b} - \frac{B}{a}

$y[-1]=y_p[-1]+y_h[-1]=\frac{A}{b}-\frac{B}{a}$

Aus dieser Gleichung erhalten wir

B = \frac{a}{a + b} - a y [- 1]

$B=\frac{a}{a+b}-ay[-1]$

Dies zeigt, dass die homogene Lösung, die wir benötigen, ungleich Null ist, wenn . und die auf diese Weise gefunden wurden, sind identisch mit der erzwungenen Antwort bzw. der natürlichen Antwort, wie in und - implizit - in . $y[-1]=0$ $y_p[n]$ $y_h[n]$ $(4)$ $(2)$

Matt L.
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OK, jetzt, wo ich die Gelegenheit hatte, es ein bisschen zu lesen (nicht nur auf dem Handy!), Denke ich, dass dies geschieht.

Wir haben eine lineare Konstantkoeffizientendifferenzgleichung:

y [n] + \sum_{k = 1}^{N} α_{k} y [n - k] = \sum_{m = 0}^{M} β_{m} x [n - m]

$y[n] + \sum_{k=1}^N \alpha_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M \beta_m x[n-m]$

und wir möchten das für ein gegebenes . $y$ $x$

Im Allgemeinen ist die Lösung wird zwei Komponenten enthalten: wo die besondere Lösung und ist die homogene Lösung. $Y$

y = y_{p} + y_{h}

$y = y_p + y_h$

y_{p}

$y_p$

y_{h}

$y_h$

Die spezielle Lösung wird erhalten, indem die Systemeingabe auf . Die homogene Lösung wird erhalten, indem der Eingang des Systems auf 0 (Null) gesetzt und eine beliebige Anfangsbedingung für den Systemzustand ausgewählt wird . $x$

Was Proakis und Manolakis annehmen, ist, dass der anfängliche Systemzustand alle Null ist (direkt über Gleichung 3.6.2 und wie Sie in Ihrer Frage hervorgehoben haben).

Das ist also der Unterschied zwischen der Lösung mit Null-Eingang (und Null-Zustand) und der Lösung mit Null-Eingang (und beliebigem Zustand oder homogen): Wie wählen Sie die Anfangsbedingungen aus? Die homogene Lösung erfordert beliebige Anfangsbedingungen, andernfalls wäre jede homogene Lösung . $y_h = 0$

Peter K.
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Wenn Ihr letzter Satz bedeuten soll, dass die Lösung eines LCCDE vollständig durch seine spezielle Lösung gekennzeichnet ist, wenn die Anfangsbedingungen Null sind (weil Sie dann sagen, ), dann würde ich sagen, dass es falsch ist. Ich denke, Sie beziehen sich auf die Tatsache, dass eine homogene Differenzgleichung eine Anfangsbedingung ungleich Null benötigt, um "loszulegen", aber das ist etwas anderes. Im Allgemeinen lautet die Lösung

y_{h} = 0

$y_h=0$

y_{p} + y_{h}

$y_p+y_h$ mit

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ , auch wenn die Anfangsbedingungen Null sind.

Matt L.

@ MattL. Können Sie mir ein Beispiel geben, bei dem die Anfangsbedingungen und die Forcierungsfunktion Null sind und für welche

y_{h} = 0

$y_h = 0$ ist KEINE gültige Lösung? Ich verstehe Ihren Standpunkt, ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie ich eine nicht triviale homogene Lösung finden kann, ohne willkürliche Anfangsbedingungen anzunehmen - was offensichtlich Null beinhaltet.

Peter K.

Wenn Sie eine homogene Differenzgleichung mit Null Anfangsbedingungen haben (und mit

y_{p} = 0

$y_p=0$ ), dann hast du recht. Mein Punkt ist jedoch: Wenn Sie eine Lösung für eine Differenzgleichung mit Forcierungsfunktion wünschen und diese als zerlegen

y = y_{p} + y_{h}

$y=y_p+y_h$ dann ist es nicht richtig, das zu sagen

y_{h} = 0

$y_h=0$ wenn die Anfangsbedingungen Null sind. Nehmen Sie das Beispiel aus meiner Antwort. Die homogene Lösung ist gegeben durch Gl. (4), und es ist nicht Null, auch wenn

y [- 1] = c = 0

$y[-1]=c=0$ . Der Grund ist, dass die Ausgangsbedingung von erfüllt ist

y_{h}

$y_h$ kombiniert mit

y_{p}

$y_p$ , selbst wenn diese Bedingungen Null sind. Damit

y_{h} [- 1] \neq 0

$y_h[-1]\neq 0$ , selbst wenn

y [- 1] = 0

$y[-1]=0$

Matt L.

@ MattL. Mein Punkt ist das

y [n] + a y [n - 1] = 0

$y[n] + ay[n-1] = 0$ hat eine vollkommen gültige "homogene Lösung"

y_{h} [n] = 0, \forall n

$y_h[n] = 0, \forall n$ wenn Sie keine Anfangsbedingungen annehmen. Sie müssen Anfangsbedingungen ungleich Null annehmen, um zu finden, was Sie geschrieben haben (die wahre homogene Lösung).

Peter K.

Natürlich stimme ich Ihrem Beispiel zu; Auf diese Art von Beispiel habe ich im ersten Satz meines vorherigen Kommentars Bezug genommen (der Fall, in dem

y_{p} = 0

$y_p=0$ ). Sie haben aber auch eine homogene Lösung, wenn die Forcierungsfunktion nicht Null ist. In diesen Fällen

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ , auch für Null Anfangsbedingungen. Und ich dachte, dass der letzte Satz in Ihrer Antwort das Gegenteil behauptet, zumindest verstehe ich das so. In der Summe haben Sie also in der Regel

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ auch bei null Anfangsbedingungen (wenn

y_{p} \neq 0

$y_p\neq 0$ ).

Matt L.

Ohne Gleichungen zu verwenden.
Sie betrachten eine Schaltung mit R und C (als einfaches Beispiel). Es gibt eine angewendete EINGANGSSPANNUNGSQUELLE. An den Kondensator wird eine Anfangsspannung angelegt.

Sie werden einen Strom oder eine Spannung mit 2 ZEICHNUNGEN LÖSEN. Behalten Sie beide berechneten Werte im Auge, um die endgültige Antwort zu erhalten.

[1. Zeichnung] Sie zeichnen die Schaltung (ohne die EINGANGSSPANNUNGSQUELLE), verwenden jedoch die ANFANGSBEDINGUNGEN und fragen: Wie entweicht die Spannung im Kondensator und leitet sich in der Schaltung ab? Das ist die NATÜRLICHE Antwort der Schaltung. Sie schreiben die V DISCHARGE-Gleichung und ermitteln die DISCHARGE-Zeitkonstante. Dies ist die NATÜRLICHE ANTWORT der Schaltung (der NULL-EINGANG: bedeutet KEINE ANGEWANDTE EINGANGSSPANNUNGSQUELLE, aber JA Anfangsbedingungen). Speichern Sie diesen Strom- oder Spannungswert "Teil 1".

[2. Zeichnung] Nun möchten Sie die FORCED RESPONSE berechnen. BEINHALTEN SIE NICHT DIE ERSTEN BEDINGUNGEN. Zeichnen Sie einfach die EINGANGSSPANNUNGSQUELLE und die Schaltungskomponenten und "FINDEN SIE DIE ANTWORT". Speichern Sie diesen Strom- oder Spannungswert "Teil 2". Dieses Ergebnis (ohne Berücksichtigung der INITIAL CONDITIONS) ist die FORCED RESPONSE.

Die ENDGÜLTIGE ANTWORT lautet: Was ist die Summe des Stroms, den Sie aus der NATÜRLICHEN ANTWORT berechnet haben, und des Stroms, den Sie aus der erzwungenen ANTWORT berechnet haben. -oder- Was ist die Summe der Spannung, die Sie aus der NATURAL RESPONSE berechnet haben, und der Spannung, die Sie aus der FORCED RESPONSE berechnet haben? Vielen Dank. Cesar 25. Februar 2020 aus dem Gebiet von General Bravo.

Cesar
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