Welche Beziehung besteht zwischen dem Sigma im Laplace von Gauß und den beiden Sigmas im Unterschied von Gauß?

Ich verstehe, dass ein Laplace-of-Gauss-Filter durch ein Difference-of-Gauss-Filter angenähert werden kann und dass das Verhältnis der beiden Sigmas für letzteres 1: 1,6 sein sollte, um die beste Annäherung zu erzielen. Ich bin mir jedoch nicht sicher, in welcher Beziehung die beiden Sigmen im Unterschied der Gaußschen zum Sigma für den Laplace-Gaußschen stehen. Ist das kleinere Sigma im ersteren gleich dem Sigma des letzteren? Ist das größere Sigma? Oder ist die Beziehung etwas anderes?

Ich verstehe, dass ein Laplace-of-Gauss-Filter durch ein Difference-of-Gauss-Filter angenähert werden kann und dass das Verhältnis der beiden Sigmas für letzteres 1: 1,6 sein sollte, um die beste Annäherung zu erzielen

Theoretisch ist die Approximation umso besser, je kleiner das Verhältnis zwischen zwei Sigmen ist. In der Praxis wird es irgendwann zu numerischen Fehlern kommen. Wenn Sie jedoch Gleitkommazahlen verwenden, erhalten Sie eine bessere Annäherung, wenn die Werte kleiner als 1,6 sind.

Zur Veranschaulichung habe ich einen Querschnitt der LoG und der DoG für einige Werte von k in Mathematica gezeichnet:

Wie Sie sehen können, ist k = 1,6 keine ideale Näherung. Zum Beispiel würde k = 1,1 eine viel engere Annäherung ergeben.

Normalerweise möchten Sie jedoch die LoG-Näherungen für eine Reihe von Sigmas berechnen. (Warum sollte man sich sonst überhaupt mit der DoG-Näherung beschäftigen? Die Berechnung eines einzelnen LoG-gefilterten Bildes ist nicht teurer als die Berechnung eines einzelnen DoG-gefilterten Bildes.) Daher wird der Wert von k normalerweise so gewählt, dass Sie eine Reihe von Gauß-gefilterten Bildern berechnen können Bilder mit Sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... und berechnen Sie dann die Differenzen zwischen benachbarten Gaußschen. Wenn Sie also ein kleineres k wählen, müssen Sie mehr "Schichten" von Gaußschen für den gleichen Sigma-Bereich berechnen. k = 1,6 ist ein Kompromiss zwischen dem Wunsch nach einer engen Annäherung und dem Wunsch, nicht zu viele verschiedene Gaußsche zu berechnen.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, in welcher Beziehung die beiden Sigmen im Unterschied der Gaußschen zum Sigma für den Laplace-Gaußschen stehen. Ist das kleinere Sigma im ersteren gleich dem Sigma des letzteren?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Vielleicht können Ihnen die Formeln hier helfen.

Da die Skalenraumdarstellung die Diffusionsgleichung erfüllt, kann der LoG als Differenz zwischen zwei Schichten des Skalenraums berechnet werden.

Wenn wir die DoG-Formel ableiten, approximieren wir daher zuerst die LoG mit endlicher Differenzierung. Ich denke, das spezifische Verhältnis für Sigma ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Maßstabsschritt vorgenommen wird, um sich an erster Stelle dem LoG anzunähern.