Diskrete Fourier-Transformationssymmetrie

Ich las das Kapitel über diskrete Fourier-Transformationen in Lyons Buch - Verständnis der digitalen Signalverarbeitung - und konnte den letzten Absatz über Symmetrie nicht verstehen.

Es gibt eine zusätzliche Symmetrieeigenschaft der DFT, die an dieser Stelle erwähnt werden sollte. In der Praxis müssen wir gelegentlich die DFT realer Eingabefunktionen bestimmen, bei denen der Eingabeindex sowohl über positive als auch über negative Werte definiert ist. Wenn diese reale Eingabefunktion gerade ist, ist immer real und gerade; das heißt, wenn das reelle , dann ist im Allgemeinen ungleich Null und ist Null. Wenn umgekehrt die reale Eingabefunktion ungerade ist, , dann ist immer Null und ist im Allgemeinen ungleich Null.X ( m ) x ( n ) = x ( - n ) X real ( m ) X imag ( m ) x ( n ) = - x ( - n ) X real ( m ) X imag ( m $n$$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Anmerkung:$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• Erstens, was ist mit "ungerade" und "gerade" gemeint? Ich vermute, es ist die Anzahl der Samples im Eingangssignal, aber das führt mich zu meiner zweiten Frage:
• Warum ist Null mit reellen reellen Eingabefunktionen und warum ist Null und Allgemeinen ungleich Null?X real ( m ) X imag ( m $X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Gerade und ungerade beziehen sich auf die Symmetrie um .$n = 0$

Gerade bedeutet ; Sie können das Teil für indem Sie einfach das Teil für in der Zeile spiegeln .n < 0 n > 0 n = $x[n] = x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$

Ungerade bedeutet ; Sie können das Teil für indem Sie einfach das Teil für in der Zeile spiegeln und mit multiplizieren .n < 0 n > 0 n = 0 - $x[n] = -x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$$-1$

Eine Kosinuswelle ist gerade, die Sinuswelle ist ungerade.

Dies sind alles nur Sonderfälle der allgemeinen Symmetrie, die besagt

Wenn es in einer Domäne real ist, ist es in der anderen Domäne konjugiert symmetrisch.

Symmetrisch konjugieren bedeutet, dass der Realteil gerade und der Imaginärteil ungerade ist. Die meisten Menschen wissen, dass ein Echtzeitdomänensignal ein konjugiertes symmetrisches Spektrum ist, aber es geht auch umgekehrt: Ein konjugiertes symmetrisches Zeitdomänensignal hat ein realwertiges Spektrum.

Hilmars Antwort ist natürlich vollkommen richtig, aber ich denke, es gibt einige Punkte, die Lyon in der vom OP zitierten Erklärung nicht angesprochen hat (oder vielleicht hat er zuvor darüber gesprochen und sich entschieden, sich in dem vom OP zitierten Absatz nicht zu wiederholen). .

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) wird üblicherweise als Transformation einer Sequenz endlicher Länge in eine andere Sequenz der Länge wobei Diese Formeln können aber auch verwendet werden, wenn außerhalb des Bereichs Wenn wir dies tun, kommen wir zu dem Schluss, dass die Länge DFT als a angesehen werden kann Transformation von a$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$periodische Sequenz zu einer anderen periodischen Sequenz , die sich beide in beide Richtungen bis ins Unendliche erstreckt, und die und sind nur eine Periode dieser unendlich langen Sequenzen. Beachten Sie, dass wir darauf bestehen, dass und für alle und .$x[\cdot]$$X[\cdot]$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

So werden Daten in der Praxis natürlich nicht häufig behandelt. Wir haben möglicherweise eine sehr lange Folge von Proben und teilen sie in Blöcke geeigneter Länge . Wir berechnen die DFT von als die DFT des nächsten Chunks als die DFT des vorherigen Chunks als $N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ usw. und dann spielen wir mit diesen verschiedenen DFTs der verschiedenen Blöcke, in die wir unsere Daten unterteilt haben. Wenn die Daten tatsächlich periodisch mit der Periode , sind natürlich alle diese DFTs gleich.$N$

Wenn Lyons von ... spricht, wo der Eingangsindex n sowohl über positive als auch über negative Werte definiert ist ... spricht er vom periodischen Fall, und wenn er sagt, dass eine (reelle) gerade Funktion die Eigenschaft , diese Eigenschaft muss für alle ganzen Zahlen . Da auch Periodizität gilt, haben wir nicht nur sondern auch und in ähnlicher Weise . In anderen Worten, die reale sogar Sequenz , dessen DFT ist eine reale sogar Sequenz (wie von Lyons angegeben und erläuterte sehr schön durch Hilmar) ist notwendigerweise$x[n] = x[-n]$$n$$x[-1] = x[1]$$x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$$x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$der Form die (abgesehen von dem führenden ) eine palindromische Sequenz ist. Wenn Sie Ihre Daten in Blöcke der Länge aufteilen und die DFT jedes Blocks separat berechnen, haben diese separaten DFTs nicht die oben beschriebenen Symmetrieeigenschaften, es sei denn, die DFT besteht aus einem Block mit dieser palindromischen Eigenschaft.x [ 0 ]

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ $x[0]$$N$

Nur zur Klärung gerader und ungerader Funktionen,

Gerade: symmetrisch in Bezug auf die y-Achse Ungerade: symmetrisch in Bezug auf den Ursprung

Und ohne auf mathematische Details einzugehen, ist die DFT der reellen Funktion symmetrisch, dh die resultierende Fourier-Funktion hat sowohl Real- als auch Imaginärteile, die Spiegelbilder in Bezug auf die Frequenzkomponente 0 sind. Dies ist nicht der Fall, wenn Sie die DFT einer komplexen Funktion verwenden.