Null, erste, zweite ... Hold n-ter Ordnung

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Die Rechteckfunktion ist definiert als:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Die Dreiecksfunktion ist definiert als:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ ist es die Faltung zweier identischer Einheitsrechteckfunktionen:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ Halten

Ordnung und Halten erster Ordnung verwenden diese Funktionen. Tatsächlich hat es:

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ für Halten nullter Ordnung und

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ für Halten erster Ordnung. Da

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , würde ich gerne wissen, ob dies nur ein Zufall ist oder ob für das Halten zweiter Ordnung die Impulsantwort

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Gilt das auch für ein allgemeinesHalten der

k

$k$ ten Ordnung? Setzen Sie nämlich

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ wobei

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ die Impulsantwort desHaltens

k

$k$ ter Ordnung ist, möchte ich wissen, ob seine Impulsantwort

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k mal.

sampling interpolation Kennzeichen
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Ich habe keine Referenz für ein Halten der

ten Ordnung für

. ich hätte erwartet, dass es die

-Funktion ist, die

mal mit sich selbst gefaltet ist . aber ich weiß nicht, was die Definition ist.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

Robert Bristow-Johnson

1

@ robertbristow-johnson: In Analogie zu einem Halten nullter Ordnung (Polynominterpolation nullter Ordnung, dh stückweise Konstante) und einem Halten erster Ordnung (Polynominterpolation erster Ordnung, dh stückweise linear), einem Halten n-ter Ordnung ist eine stückweise Interpolation durch ein Polynom n-ter Ordnung. Es wird hier erwähnt (S. 6).

Matt L.

1

Diese und das, was @ robertbristow-johnson in seiner Antwort unten beschreibt, werden B-Splines genannt.

Olli Niemitalo

Kann jemand bitte mit einer Bildmatrix mit Faktor 2 zeigen? Und ich bin mir über den Faktor hier ziemlich unklar.

user30462

9

Das ist nicht der Fall. Zunächst würde ein Halten zweiter Ordnung drei Abtastpunkte verwenden, um ein Interpolationspolynom zu berechnen, aber Ihre vorgeschlagene Impulsantwort ist in einem Intervall der Größe ungleich Null (unter der Annahme eines Abtastintervalls von , wie Sie es in Ihrer Frage tun). Die Impulsantwort, die einem Halten zweiter Ordnung entspricht, muss jedoch eine Unterstützung der Länge . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

$n^{th}$ $n$

$n^{th}$ $n+1$

$y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

$(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

$h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

$(3)$

Ich überlasse es Ihnen zu zeigen, dass diese Impulsantwort nicht durch Falten von drei Rechteckfunktionen miteinander erzeugt werden kann.

Matt L.
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Matt, können Sie eine Referenz für Ihre Darstellung eines Holds 2. Ordnung bereitstellen? Ich bin zu 100% davon überzeugt, dass die Handlung falsch ist.

Robert Bristow-Johnson

h (t)

$h(t)$

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

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$n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

$x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

Welches ist der Ausgang eines idealen Brickwall-Filters mit Frequenzgang:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

bei Ansteuerung durch die ideal abgetastete Funktion

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

Wenn also in , kommt . Der Faktor wird benötigt, damit die Durchlassbandverstärkung des Rekonstruktionsfilters die dimensionslosen oder 0 dB beträgt . $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

das heißt, die Impulsantwort dieses idealen Brickwall-Filters ist

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

das rekonstruierte ist $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

Wir können diesen Rekonstruktionsfilter eindeutig nicht realisieren, weil er nicht kausal ist. aber mit genügend Verzögerung könnten wir in der Lage sein, mit einem verzögerten kausalen immer näher zu kommen . $h(t)$

Jetzt kommt ein praktischer DAC nicht besonders nahe, aber da er einfach den Abtastwert für die Abtastperiode unmittelbar nach der Abtastung ausgibt, sieht die Ausgabe des DAC so aus $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

und es kann als Filter mit Impulsantwort modelliert werden

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

angetrieben von demselben . so $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

und der Frequenzgang des implizierten Rekonstruktionsfilters ist

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

Beachten Sie die konstante Halbabtastverzögerung in diesem Frequenzgang. Von dort kommt der Hold nullter Ordnung .

Während der ZOH die gleiche Gleichstromverstärkung wie die ideale Brickwall-Rekonstruktion hat, jedoch nicht die gleiche Verstärkung bei anderen Frequenzen. Außerdem werden die Bilder in nicht vollständig heruntergeschlagen, wie dies bei der Mauer der Fall wäre, aber sie werden etwas heruntergeschlagen. $x_\text{s}(t)$

Warum ist das im POV des Zeitbereichs so? Ich denke, es liegt an den Diskontinuitäten in . Es ist nicht so schlimm wie die Summe der Dirac-Impulse in , aber weist Sprungdiskontinuitäten auf. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

Wie werden Sprungdiskontinuitäten beseitigt? vielleicht verwandeln sie sie in Diskontinuitäten der ersten Ableitung. und Sie tun dies, indem Sie die Integration in den kontinuierlichen Zeitbereich verwenden. Ein Hold erster Ordnung ist also ein Hold, bei dem die Ausgabe des DAC über einen Integrator mit der Übertragungsfunktion Wir versuchen jedoch, die Auswirkungen des Integrators mit einem im zeitdiskrete Domäne. die Ausgabe dieses zeitdiskreten Differenzierers ist oder Z-Transformation $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

Die Übertragungsfunktion dieses Differenzierers ist oder im kontinuierlichen Fourierbereich . Dies bewirkt, dass die Übertragungsfunktion erster Ordnung die des zeitkontinuierlichen Integrators, des zeitdiskreten Differenzierers und des ZOH des DAC alle miteinander multipliziert. $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

die Impulsantwort davon ist

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

Wenn man dies weiter fortsetzt, würde der Hold zweiter Ordnung sowohl kontinuierliche nullte als auch erste Ableitungen haben. Dies geschieht, indem es erneut in den zeitkontinuierlichen Bereich integriert und versucht, dies im zeitdiskreten Bereich mit einem anderen Unterscheidungsmerkmal auszugleichen. das wirft einen anderen -Faktor ein, was bedeutet, sich mit einem anderen falten . $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

robert bristow-johnson
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Dies wird schließlich zu einer Gaußschen Impulsantwort konvergieren, und ich kann dies nicht sehr intuitiv verstehen. Ich bin der festen Überzeugung, dass ein Halten n-ter Ordnung - in völliger Analogie zu ZOH und FOH - ein Polynominterpolator n-ter Ordnung ist. Ich teile diese Ansicht mit mehreren anderen Autoren: z. B. diesen und diesem . Ich habe Ihre Interpretation einer n-ten Ordnung nirgendwo anders gesehen.

Matt L.

ein sehr langer Gaußscher. Die Impulsantwort eines Haltens ter Ordnung besteht aus benachbarten Abschnitten stückweise Polynome ter Ordnung, die so verkettet sind, dass alle Ableitungen bis zur -ten Ableitung stetig sind. und ich denke, es ist kausal. Übrigens habe ich die Antwort noch nicht fertiggestellt. irgendwie beschissen, aber ich habe vor, alles irgendwann zusammenzubinden. und ich werde eine ganze lotta Grammatik fix

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

Robert Bristow-Johnson

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Eine andere Frage wurde als Duplikat davon markiert. Dort wurde auch gefragt, was polygonaler Halt ist. Es und Polygon Hold scheinen Synonyme für lineare Interpolation zu sein, bei denen "Punkte verbunden" sind und nicht die Ausgabe wie eine Säge aussieht, wie beim prädiktiven Halten erster Ordnung. Um die Proben mit Linien zu verbinden, muss die nächste Probe im Voraus bekannt sein, damit die Linie in die richtige Richtung ausgerichtet werden kann. Im Zusammenhang mit Echtzeitsteuersystemen, bei denen die Abtastwerte nicht im Voraus bekannt sind, bedeutet dies, dass die Ausgabe um eine Abtastperiode verzögert werden muss, damit die Leitungen an den Abtastwerten angeschlossen werden können.

Polynom-Hold (nicht polygonaler Hold) umfasst sowohl Hold nullter Ordnung als auch Hold erster Ordnung.

Olli Niemitalo
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Null, erste, zweite ... Hold n-ter Ordnung

Antworten: