Was bedeutet eine komplexe Null / Pol?

Ich studiere seit einiger Zeit Signalverarbeitung und -steuerung und verwende fast täglich Laplace- und Fourier-Transformationen. Auch andere Tools wie Nyquist- oder Bode-Plots.

Daran hatte ich bis heute jedoch noch nie gedacht: Was ist die physikalische Bedeutung einer komplexen Zahl im Umgang mit Frequenzen?

Das mag albern klingen, aber mir wurde diese Frage gestellt und ich wusste nicht, was ich beantworten sollte. Warum sprechen wir beispielsweise in Fourier-Transformationen und Bode- oder Nyquist-Plots über $j\omega$ und nicht nur über $\omega$ ? Was ist der physikalische Sinn des Real- und Imaginärteils einer Null oder eines Pols in der Laplace-Domäne?

Wir sprechen normalerweise von $j\omega$ wenn wir auch an der Laplace-Transformation eines Signals / Systems interessiert sind, aber nur über den Frequenzgang sprechen möchten.

Die physikalische Bedeutung des Imaginärteils besteht darin, dass er sich auf rein sinusförmige Signale bezieht und eine konstante "Amplitude" aufweist. Der Realteil bezieht sich auf Signale, bei denen die "Amplitude" exponentiell abfällt oder wächst.

Ich glaube, ich habe angefangen, die Beziehung zwischen Nullen / Polen und dem Frequenzgang zu verstehen . Die Idee ist, dass Sie die Frequenz Ihrer Frequenzbereichs-Basisfunktionen e j w n und die Geschwindigkeit ihres Abfalls anpassen , um sie an die z z e r o / p o l e anzupassen . Ich meine , dass die Null / Pol komplexe Zahl mit einer Amplitude außerhalb des einzigen Kreis sein kann , und Einstellen der Frequenz Sie Ihre komplexe Zahl bewegen e - j w Vektor entlang der einzigen Kreis in der komplexen Ebene , aber es gibt keine Frequenz , die es gleich machen $w$$e^{jwn}$$z_{zero/pole}$$e^{-jw}$im Filterdesign.Zum Beispiel 2 oder z = j / 3 . Ihre Basisfunktionen müssen also wie e ( k - j w ) n aussehen, um einen beliebigen Pol / Nullpunkt in der komplexen Ebene zu erreichen. Es ist interessant, weil ich gehört habe, dass die Fourier-Basis e - j w jedes Singnal darstellen kann, aber es scheint unzureichend und wir brauchen die Laplace-Basis e ( k - j w ) $z=2$$z=j/3$$e^{(k-jw)n}$$e^{-jw}$$e^{(k-jw)n}$

Rein reales bedeutet nun, dass der "komplexe Exponent", der mit ihm übereinstimmt, keine imaginäre Komponente hat. Es muss ohne Schwingungen wie e k n abfallen , um auf die Null / den Pol zu reagieren. Nehmen Sie zum Beispiel die Pole bei z = 1 . Sie haben ein System y n - y n - 1 = x n + x n - 1 + ... so dass Y ( z ) = X ( z ) / ( 1 - z ) $z$$e^{kn}$$z=1$$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$$Y(z) = X(z)/(1-z).$Der Pol entspricht der Frequenz w = 0 . In der Tat haben wir mit x n = 1 y n = y n - 1 + 1, das unbegrenzt wächst. Wenn Sie es oszillieren lassen, dh w ≠ 1 einstellen, wird das Wachstum unterbrochen , da es sich zuerst ansammelt, wenn x n = 2 c o s ( w n ) = e j $z = e^{-jw} =1$$w=0$$x_n=1$$y_n = y_{n-1} + 1$$w \neq 1$und reduzieren Sie dann die Akkumulation während der zweiten Hälfte der Sinusperiode auf Null. Dies deutet darauf hin, dass imaginäre Pole Ihnen unendliche Antworten für oszillierende Funktionen (Komponenten Ihres Eingangssignals) geben.$x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$

Wenn Sie ein System , können Sie die Polfunktion leicht erhalten, indem Sie einen Delta-Impuls am Eingang anlegen. Die beobachtete Antwort ist der Pol. Ich meine, die Antwort ist ein abklingender Exponent y n = e k - j w n = a n . Jede Uhr ist es a = e k - j w = e k e - j $y_n=ay_{n-1}$$y_n = e^{k-jw}n=a^n$$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$mal den vorherigen Wert. Beachten Sie, dass es (der Pol, auch bekannt als Rückkopplungskoeffizient und damit die Antwortfunktion) allgemein komplex ist, was bedeutet, dass Ihre Antwort schwingt. Wenn Sie eine komplexe Zahl mit einer anderen multiplizieren, wird Ihre Zahl in der Länge skaliert und in der Phase verschoben. Der komplexe Teil ist für die Phasenverschiebung (die Schwingungen) verantwortlich.

Ich erinnere mich aus der Systemtheorie, dass Schwingungen tatsächlich für das System zweiter Ordnung stehen. Wahrscheinlich wird dies meine Frage nach der Kommutierungszelle beantworten . Die Idee ist, dass, wenn Sie den ersten Pegel haben, das Inkrement des anderen und der andere das Inkrement des ersten steuert, wie der elektrische Induktor und der Kondensator im harmonischen Oszillator,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

ist ein System zweiter Ordnung, da es zu , der berühmten Federoszillatorgleichung, erweitert werden kann: Die Position steuert die Beschleunigung negativ. Es schwingen also zwei rein reale Zustandsvariablen (auch als Akkumulatoren bezeichnet). Ich sehe, dass die komplexe Ebene auch aus zwei Achsen besteht, den gleichen zwei Variablen. Wenn die gesamte Energie im ersten Akkumulator konzentriert ist, haben Sie den Zustand 1 + 0j, auf halbem Weg haben Sie das Gegenteil, Zustand = 0 + 1j, und der zweite Akkumulator hat die Energie nach hinten gedrückt, Zustand3 = -1 + 0j, der ponged ist zum ersten in den Zustand4 = 0-j und Prozesswiederholungen. Dies sind 4 Viertel der Bewegung entlang eines Einheitskreises in der komplexen Ebene und der Nachahmung der harmonischen Schwingungen. Wahrscheinlich können Sie sich also trennen$\ddot{u} = \dot{i} = -u$ in 1 / ( 1 - r 0 z ) ⋅ 1 / ( 1 - r 1 z ) mit realem r 0 und r 1 .$1/(1-(a+jb)z)$$1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$$r_0$$r_1$

Warten Sie, Sie können das einzelne in z 2 zerlegen lassen, und ich erinnere mich, dass komplexe Pole immer in konjugierten Paaren vorliegen. Das heißt, wenn Sie eine Stange (a + jb) haben, haben Sie auch (a-jb). Wie ich verstehe, hilft dies, die Ausgabe bei realer Eingabe rein real zu machen, da Rückkopplung (a + jb) bedeutet, dass sich das System entwickelt als ( a + j b ) n = e ( k + j w ) n , die Phase dreht sich in eine Richtung wohingegen ( a - j b ) n = e ( k - j $z$$z^2$$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$ dreht die Phase in die andere Richtung und ihre Summe ist e k n ( e j w + e - j w ) n ist rein real. Dasobige x n + 1 =- x n - 1- System hat die LösungX(z)=( x 0 +z x 1 ) / (1+ z 2 )=( x 0

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$$x_{n+1}=-x_{n-1}$ . Wahrscheinlich verstehst du das schon. Ich habe gerade Ihre Frage erweitert.$X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$

Die Übertragungsfunktion steht für die Folge { 1 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 , … $1/(1+z^2)$$\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$. Es muss eine "versteckte Variable" geben (ja, es ist interessant, wenn die Komplexität der Pole mit der Notwendigkeit imaginärer Zahlen identisch ist, die wir im QM benötigen. Die Position und die Impulse sind komplexe Konjugate, eine Art um 90 ° gedrehte, voneinander und Wenn Sie eine kennen, können Sie die andere) versteckte Variable berechnen, um zu berücksichtigen, ob wir nach 0 in den Zustand 1 oder -1 wechseln. Das komplexe Konjugat ist eine Art komplementärer, orthogonaler Akkumulator, der jedoch real variabel ist, wie beispielsweise der Induktorstrom für die Kondensatorspannung, der dies verfolgt. Ich schließe mich der Frage an, ob jemand zwei solcher Ergänzungen benötigt, um eine rein reale Spannungsschwingung zu erhalten, und was eine einzelne komplexe Schwingung bedeutet.

Ich sehe das so (für den LC-Oszillator oben)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Das heißt, was Sie sehen, ist ein realer Strom in einem parallelen Referenzrahmen, dh aus der Sicht des Induktors. Da sich der LTI-Zustand, wie ich Ihnen gesagt habe, durch Multiplikation des aktuellen Zustands mit dem Eigenwert entwickelt, sollten wir über den Einheitskreis zwischen 1 und -1 schwingen, was j Zwischenzustände impliziert. Aber was Sie als konservierte Energie im imaginären Raum sehen, ist zufällig nur ein weiterer Akkumulator. Der konjugierte Akkumulator ist nur ein weiterer Akkumulator. Aus irgendeinem Grund handelt es sich um eine konjugierte Art, wie ich in der Kommutierungszelle zu erklären versuchte .

$j$$-j$

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

$(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$$\ddot(x)=-x$$cos w$$e^{jw}$$sin w$$\ddot{v}=-v$$\ddot{i}=-i$

$f(t)$$F(s)$$s$$F(s)$$s$$f(t)$

Wie in dieser Tabelle gezeigt, ist die Wellenform beispielsweise exponentiell, wenn die Wurzeln real sind. Wenn sie imaginär sind, dann ist es eine Kombination aus Sinus und Cosinus. Und wenn sie komplex sind, dann ist es eine dämpfende Sinuskurve.

All dies ergibt sich aus der Euler-Formel und der Definition der Fourier-Reihe , mit der eine (wellenartige) Funktion als Summe einfacher Sinuswellen dargestellt werden kann.

Eine Antwort ist sehr einfach: Information.

Ein Wechselstromsignal kann einfach nicht mit einer einzigen Zahl quantifiziert werden. Wenn Sie zwei 100-Hz-1-V-Signale addieren, erhalten Sie je nach Phase möglicherweise Werte zwischen 0 und 2. Komplexe Zahlen lösen dieses Problem, indem sie ständig zwei Informationen mit sich herumtragen.

Pole und Nullen sind ähnlich - ihre Frequenz sagt nicht alles. Zwei RC-Filter erzeugen zwei Pole. Ein LC-Filter erzeugt zwei Pole. Aber sie sind nicht gleich. Komplexe Zahlen können die Informationen enthalten, die den Unterschied beschreiben.

Theoretischer Punkt von dir. Bitte versuchen Sie, eine Quadratwurzel aus negativen Frequenzen zu ziehen, damit Sie an einen fremden Ort gelangen.

Vor etwa 300 Jahren war es notwendig, eine Variable namens einzuführen $j$

Trotzdem transformiert die Laplace-Transformation das Zeitdomänensignal in $s$-domain wo

$$s=\sigma+j\omega$$

wo als Fourier-Transformation in den Frequenzbereich $j\omega$