Wie kann die Ausgangssequenz gleich der Summe der Kopien der Impulsantwort, der skalierten und der zeitversetzten Signale sein?

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Es tut mir leid, das ist eine sehr grundlegende Frage. Aber es fällt mir schwer zu verstehen, wie es möglich ist.

Ich weiß, dass die Impulsantwort der Ausgang des Systems ist, wenn die Impulsfolge als Eingang mit Anfangsbedingungen auf 0 gegeben wird.

Durch Skalieren wird die Amplitude des Signals erhöht, dh wenn ich den Eingang mit 2 multipliziere, wird der Ausgang auch mit 2 multipliziert.

Zeitverschobenes Signal ist, wenn ich den Eingang verzögere, dann wird der Ausgang auch um den gleichen Faktor verzögert.

Kann jemand dies bitte anhand eines Beispiels veranschaulichen, wie jede Sequenz in eine Summe von Kopien der Impulsantwort, skalierten und zeitversetzten Signalen zerlegt werden kann?

Vielen Dank im Voraus.

Sarbjit
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Sie scheinen ein lineares zeitinvariantes System in Betracht zu ziehen , obwohl Sie dies nicht explizit gesagt haben. Möchten Sie wissen, wie Sie sagen können, dass eine bestimmte Sequenz, z. B. eine Sequenz, die auf der Grundlage von Münzwürfen erhalten wurde, als Summe skalierter und zeitversetzter Impulsantworten ausgedrückt werden kann? Das heißt, bei einer beliebigen Sequenz die Eingabe in das System finden, die die angegebene Sequenz als Ausgabe erzeugt? Wenn ja, suchen Sie nach Informationen über Entfaltung
Dilip Sarwate
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Weitere Informationen dazu, warum die Impulsantwort wichtig ist, finden Sie in der Antwort auf diese Frage .
Jason R

Antworten:

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Eine Interpretation Ihrer Frage könnte wie folgt sein:

Vorausgesetzt, ein System hat die folgenden zwei Eigenschaften:

  1. die Skalierungs- oder Homogenitätseigenschaft , die, wenn die Antwort auf Eingabex(t) wird ausgegeben y(t), dann für jede Wahl von α, die Systemantwort auf skalierte Eingabe αx(t) ist skalierte Ausgabe αy(t),

  2. die Zeitinvarianzeigenschaft , die für alle Auswahlmöglichkeiten vonτ, die Antwort auf zeitverzögerte Eingabe x(tτ) ist eine zeitverzögerte Ausgabe y(tτ),

Warum hat das System dann die Additivitäts- oder Überlagerungseigenschaft , die die Antwort auf die Eingabe darstellt?x1(t)+x2(t) ist y1(t)+y2(t) wo die Systemantwort auf xi(t) ist yi(t), i=1,2  ????             Allgemeiner gesagt, warum reagiert das System auf Eingaben? αx1(tτ1)+βx2(tτ2) gegeben durch αy1(tτ1)+βy2(tτ2) ?

Die Antwort ist, dass ein System mit den Eigenschaften 1 und 2 nicht unbedingt die Additivitäts- oder Überlagerungseigenschaft aufweist. Wenn die Überlagerungseigenschaft auch gilt, wird das System als lineares zeitinvariantes System bezeichnet. Dies ist jedoch eine zusätzliche Annahme, die Sie treffen (oder beweisen) müssen.

Im Allgemeinen werden Homogenität und Additivität zu der Linearitätseigenschaft kombiniert , die besagt, dass die Antwort auf die Eingabeαx1(t)+βx2(t) (das heißt, eine lineare Kombination von Eingaben x1(t) und x2(t)) ist αy1(t)+βy2(t) (das heißt, die gleiche lineare Kombination von Ausgängeny1(t) und y2(t)).

Ein paar Punkte, die man im Hinterkopf behalten sollte:

  • Ein System kann linear sein, ohne zeitinvariant zu sein (z. B. ein Modulator) x(t)x(t)cos(ωt)oder zeitinvariant, ohne linear zu sein (z. B. eine Schaltung nach dem Quadratgesetz) x(t)[x(t)]2

  • Ein additives System, das Output erzeugt y(t)+y(t)=2y(t) als Antwort auf die Eingabe x(t)+x(t)=2x(t)und so scheint die Skalierungseigenschaft tatsächlich nicht die Skalierungseigenschaft zu haben. Überzeugen Sie sich selbst, dass dies wahr ist, indem Sie versuchen zu beweisen, dass die Antwort auf0.5x(t) ist 0.5y(t). Kurz gesagt, Skalierung und Additivität sind zwei verschiedene Eigenschaften, und ein System, das eine davon genießt, genießt nicht unbedingt die andere.



Eine zweite Interpretation Ihrer Frage könnte wie folgt lauten:

Für ein lineares zeitinvariantes System soll die Ausgabe die Summe der skalierten und zeitverzögerten Versionen der Impulsantwort sein, aber ich sehe nicht, wie das so ist. Zum Beispiel sagt das Standard-Faltungsergebnis (für zeitdiskrete Systeme)

y[n]=mx[m]h[nm]
wo h[]ist die Impulsantwort (oder Einheitsantwort) des Systems. Dies scheint jedoch völlig rückwärts zu sein, da die Impulsantwort zeitlich rückwärts läuft (wie inm im Argument von h in der obigen Formel im Vergleich zu x[m] in welcher Zeit läuft vorwärts.

Dies ist in der Tat ein berechtigtes Anliegen, aber tatsächlich ist die Faltungsformel sehr erfolgreich darin , das Ergebnis zu verbergen, dass die Ausgabe die Summe der skalierten und zeitverzögerten Versionen der Impulsantwort ist. Was los ist, ist wie folgt.

Wir brechen das Eingangssignal auf xin eine Summe von skalierten Einheitspulssignalen. Die Systemantwort auf das Einheitspulssignal , 0, 0, 1, 0, 0,ist die Impulsantwort oder Impulsantwort

h[0], h[1],, h[n],
und so durch die Skalierungseigenschaft den einzelnen Eingabewert x[0]oder, wenn Sie es vorziehen
x[0](, 0, 0, 1, 0, 0,)= 0, 0, x[0], 0, 0,
erstellt eine Antwort
x[0]h[0],  x[0]h[1],,  x[0]h[n],

Ebenso der einzelne Eingabewert x[1] oder schafft

x[1](, 0, 0, 0, 1, 0,)= 0, 0, 0, x[1], 0,
erstellt eine Antwort
0,x[1]h[0],  x[1]h[1],,  x[1]h[n1],x[1]h[n]
Beachten Sie die Verzögerung in der Antwort auf x[1]. Wir können in diesem Sinne weiter machen, aber es ist am besten, zu einer tabellarischeren Form zu wechseln und die verschiedenen Ausgaben zeitlich richtig auszurichten. Wir haben
time012nn+1x[0]x[0]h[0]x[0]h[1]x[0]h[2]x[0]h[n]x[0]h[n+1]x[1]0x[1]h[0]x[1]h[1]x[1]h[n1]x[1]h[n]x[2]00x[2]h[0]x[2]h[n2]x[2]h[n1]x[m]000x[m]h[nm]x[m]h[nm+1]
Die Zeilen im obigen Array sind genau die skalierten und verzögerten Versionen der Impulsantwort, die sich zur Antwort addieren y zum Eingangssignal x. Aber wenn Sie eine spezifischere Frage stellen wie

Was ist die Ausgabe zur Zeit n?

dann können Sie die Antwort erhalten, indem Sie die summieren n-te Spalte zu bekommen

y[n]=x[0]h[n]+x[1]h[n1]+x[2]h[n2]++x[m]h[nm]+=m=0x[m]h[nm],
Die geliebte Faltungsformel, die Generationen von Studenten verwirrt, weil die Impulsantwort in der Zeit rückwärts zu laufen scheint.
Dilip Sarwate
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Dies ist ein alter Beitrag; Wären Sie jedoch in der Lage, die angebliche Unterscheidung zwischen additivityund zu demonstrieren scaling?
Javadba
Über diesen Punkt frage ich. Es heißt, überzeugen Sie sich selbst - und - gegeben, dass Additivität und Skalierung beide Merkmale linearer Systeme sind - ich bin noch nicht überzeugt.
Javadba
Liegt die Dichotomie zwischen Additivität und Skalierung an der diskreten Natur? dh additiv nicht implizieren für positive ganze Zahlen Skalierung?
Javadba
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Wenn wir ein diskretes Signal betrachten, sagen wir

x [n] = {1,5,3} mit drei Impulsen bei n = 0, 1 und 2 mit der Amplitude 1, 5 und 3.

Jetzt können wir schreiben

x [n] = 1 *δ[n] + 5 *δ[n1] + 5 *δ[n2]

oder wir verallgemeinern es,

x [n] = x[k]δ(nk)

Für das lineare zeitinvariante System wissen wir, dass

für eine gegebene Eingabe ist x [n] = x[m]δ[nm]eine Systemantwort als h [n], Ausgabe ym[n] = x[m]h[nm]

Verwenden Sie daher die kommutative Eigenschaft,

y [n] = yk[n] = x[k]h[nk]

Hari
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