Die folgende Darstellung ist eine geringfügige Variation eines Beispiels in einem Lehrbuch. Der Autor hat dieses Beispiel verwendet, um zu veranschaulichen, dass ein Interpolationspolynom über gleich beabstandete Abtastwerte nahe den Enden des Interpolationsintervalls große Schwingungen aufweist. Natürlich liefert die kubische Spline-Interpolation eine gute Annäherung über das gesamte Intervall. Ich war jahrelang der Meinung, dass eine Polynominterpolation hoher Ordnung über gleich beabstandete Abtastwerte aus dem hier dargestellten Grund vermieden werden sollte.
Kürzlich habe ich jedoch viele Beispiele für bandbegrenzte Signale gefunden, bei denen ein Interpolationspolynom hoher Ordnung weniger Approximationsfehler ergibt als eine kubische Spline-Interpolation. Typischerweise ist ein Interpolationspolynom über das gesamte Interpolationsintervall genauer, wenn die Abtastrate ausreichend hoch ist. Dies scheint zu gelten, wenn die Abtastwerte mit einer Abtastrate, die mindestens dreimal größer als die Nyquist-Frequenz des Signals ist, gleich beabstandet sind. Darüber hinaus verbessert sich der Vorteil gegenüber der kubischen Spline-Interpolation mit zunehmender (Abtastrate) / (Nyquist-Frequenz).
Als Beispiel vergleiche ich die Kubik-Spline-Interpolation mit einem Interpolationspolynom für eine Sinuswelle mit einer Nyquist-Frequenz von 2 Hz und einer Abtastrate von 6,5 Hz. Zwischen den Abtastpunkten sieht das interpolierende Polynom genauso aus wie das tatsächliche Signal.
Unten vergleiche ich den Fehler in den beiden Näherungen. Wie im ersten Beispiel ist die Polynominterpolation am Anfang und am Ende des Abtastintervalls am schlechtesten. Das interpolierende Polynom weist jedoch über das gesamte Abtastintervall weniger Fehler als ein kubischer Spline auf. Das Interpolationspolynom weist auch weniger Fehler auf, wenn über ein kleines Intervall extrapoliert wird. Habe ich eine bekannte Tatsache entdeckt? Wenn ja, wo kann ich darüber lesen?
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Antworten:
Das diskutierte Phänomen ist Runges Phänomen .
Der maximale Absolutwert der ten Ableitung von ist . Für Runge Funktion der maximale Absolutwert des - ten (even) Derivat wobeibezeichnet Fakultät. Dies ist ein viel schnelleres Wachstum. Nur wenn die Ableitungen durch Erhöhen von zu schnell wachsen , ist es möglich, dass der Interpolationsfehler mit zunehmender Interpolationsreihenfolge divergiert. Exponential in ist noch nicht zu schnell. Schauen Sie sich an: James F. Epperson, Am Beispiel der Runge , The American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, S. 329-341.n Sünde( ω t ) ωn 125 t2+ 1 n 5nn ! , n ! n n
Wenn eine Funktion nur kontinuierliche Ableitungen hat, konvergiert der konkurrierende Ansatz der stückweisen Polynom-Spline-Interpolation immer dann, wenn eine kleine feste Anzahl ihrer frühen Ableitungen über das interessierende Intervall begrenzt ist, siehe Wikipedia-Artikel zur linearen Interpolation als Beispiel.
Wenn beide Methoden konvergieren, hat die (nicht stückweise) Polynominterpolation den Vorteil eines höheren Polynomgrades, wenn viele Stichproben verwendet werden, und kann eine bessere Annäherung liefern, wie Sie in Ihrem Sinusbeispiel gesehen haben. Sie könnten auch an LN Trefethen interessiert sein, zwei Ergebnisse zur Polynominterpolation in Punkten mit gleichem Abstand , Journal of Approximation Theory Volume 65, Ausgabe 3, Juni 1991, Seiten 247-260. Zitat:
Sie haben 6,5 Samples pro Wellenlänge.
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