Warum ist Aliasing von Natur aus nicht linear?

7

ZB bei 2 Signalen $x(t)$ und $y(t)$ und Transformieren jedes einzelnen durch Hinzufügen ihrer Spektren ist die Operation linear, da das Ergebnis das gleiche wäre wie die Transformation von $(x + y)(t)$ .

Selbst wenn man sich die Stichprobenreihen ansieht, addiert sich jedes der unendlichen Elemente linear.

Aber wie ist Aliasing eine nichtlineare Operation und wie wird sie mathematisch bewiesen?

sampling aliasing non-linear Starhowl
quelle

6

Ich denke du meinst "Bilder" , nicht "Aliase" . Sie werden zu Aliasen, wenn beim Resampling ein Foldover auftritt.

Es ist, weil Sie nicht zwei Signale hinzufügen , $x(t)$ und $\operatorname{III}(t)$ , multiplizieren Sie sie, damit diese Bilder erscheinen.

\begin{aligned} x_{s} (t) & ≜ x (t) \cdot III (t / T) \\ = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \cdot δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \cdot \operatorname{III}(t/T) \\ &= x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT) \\ \end{align}$

wobei und $x[n] \triangleq x(nT)$

III (u) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (u - n)

$\operatorname{III}(u) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n)$

\begin{aligned} III (t / T) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t}{T} - n) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{III}(t/T) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t}{T}-n\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t-nT}{T}\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \\ \end{align}$

Die letzte Zeile stammt aus der Fourier-Serie. Nun, wenn Sie die Verschiebung Eigenschaft der Fourier - Transformation verwenden, dann die Fourier - Transform ist $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (f) & ≜ F {x_{s} (t)} \\ = F {x (t) III (t / T)} \\ = F {x (t) \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = F {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (f - \frac{k}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(f) & \triangleq \mathscr{F}\{x_\text{s}(t)\} \\ &= \mathscr{F}\{x(t) \operatorname{III}(t/T) \} \\ &= \mathscr{F}\left\{x(t) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \mathscr{F}\left\{\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(f-\tfrac{k}{T}\right) \\ \end{align}$

Dabei ist . $X(f) \triangleq \mathscr{F}\{ x(t) \}$

Dieser nichtlineare Multiplikationsprozess erzeugt Frequenzkomponenten, als sie zuvor in nicht existierten . Diese neuen Komponenten sind einfach verschobene Versionen von und werden als "Bilder" bezeichnet . $x(t)$ $X(f)$

robert bristow-johnson
quelle

1

Aus der Definition der Linearität eines Systems geht hervor, dass der Prozess des Aliasing unter dem Abtastoperator linear zu sein scheint ... Ich nehme an, dass der Begriff Aliasing-Verzerrung etwas zu dem irreführenden Verständnis führt, dass der Prozess nichtlinear ist. Die Abtastung ist eine lineare (aber zeitlich variierende) Operation, und Aliasing ist nur ein spezieller Fall der Abtastung, bei dem es zu einer spektralen Überlappung kommt. Aber die Zeitbereichsexposition ist offensichtlich linear: ODER mir fehlt hier etwas. Übrigens: Aliasing kann nicht invertiert werden, aber sollten alle linearen Transformationen sein (ich bin nicht sicher)?

y (t) = T {x (t)} = (\sum δ (t - k T)) x (t)

$y(t) = T\{x(t)\} = (\sum {\delta(t-kT)})x(t)$

Fat32

4

Hinweise:

Kann ein LTI-System Komponenten mit einer bestimmten Frequenz erzeugen, wenn das Eingangssignal war, dass ? $\omega_0$ $x(n)$ $X(e^{j\omega_0})=0$
Macht Aliasing so etwas?

Die Antworten auf diese Fragen sind unkompliziert und beantworten zusammen die ursprüngliche Frage.

Tendero
quelle

Ich weiß, dass Stichproben als Folge linearer Bausteine dargestellt werden können, aber ich kann mich nicht an die Quelle und die Seite erinnern. Das muss der Schlüssel sein, oder?

Starhowl

3

@Tendero: Es ist durchaus möglich, dass ein lineares System neue Frequenzen erzeugt, wenn es zeitvariant ist. Es ist nur ein LTI-System, das nicht kann.

MBaz

@MBaz Danke, dass du darauf hingewiesen hast - ich habe die Antwort bearbeitet.

Tendero

Warum ist Aliasing von Natur aus nicht linear?

Antworten: