Gibt es eine mathematische Methode, um festzustellen, ob das Rauschen Gaußsch ist?

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Gibt es eine mathematische Methode, um festzustellen, ob das Rauschen eines Signals Gaußsch ist?

Der einzige Weg, den ich bisher kenne, besteht darin, das Histogramm zu analysieren und eine Gaußsche Verteilung zu legen, um visuell festzustellen, ob die Verteilung Gaußsch ist. Ich würde gerne wissen, ob es einen mathematischen Weg gibt, um festzustellen, ob das Rauschen Gaußsch ist und wie genau das Ergebnis ist.

noise gaussian ChrisB
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en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence, wenn Sie zwei PDFs vergleichen möchten; Wenn Sie eine diskrete Beobachtung mit einem PDF vergleichen möchten, lohnt es sich wahrscheinlich, en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Smirnov_test
Marcus Müller
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Beachten Sie, dass diese beiden Methoden eine Art Abstand ergeben. Ob dies für Sie relevant ist oder nicht, hängt wirklich davon ab, warum Sie wissen müssen, ob das Rauschen einer Gaußschen Verteilung folgt.
Marcus Müller
Wenn dieses Rauschen additiv und dominant ist, wäre der Histogrammansatz in Ordnung. Meiner Meinung nach müssen wir sowieso eine Rauschmodellannahme verwenden, wie z. B. additives Rauschen oder Rauscheigenschaften (Mittelwert, Varianz, ..). Nehmen wir zum Beispiel das Modell y = x + n an, wobei x das Signal und n das Gaußsche Rauschen ist. Wenn Sie das verfälschte Signal y mitteln und die Residuen analysieren, können Sie sich möglicherweise ein Bild über die Rauscheigenschaften machen.
Dhanushka
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Ich bin nicht Spezialist aber das Schlüsselwort (andere als das, was von Marcus Müller vorgeschlagen) können Dichteschätzung sein en.wikipedia.org/wiki/Density_estimation
AlexTP

Antworten:

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Es gibt mehrere statistische Tests, wenn eine Zeitreihe Gaußsch ist, obwohl in der Statistik der Begriff "Tests auf Normalität" normalerweise so ist, wie Sie nach ihnen suchen.

Die Nist EDA-Site ist ein guter Ort, um nachzuschauen , und das Wahrscheinlichkeitsdiagramm ist für kürzere Datensätze besser als das Stichprobenhistogramm.

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/probplot.htm

Am Ende der Seite finden Sie Verweise auf qq-Diagramme, KS, Chi-Quadrat und andere Anpassungstests. Sie können zahlreiche Informationen über sie im Web finden, und das Replizieren hier wird nichts hinzufügen.

Matlab hat qqplot und prob plot in der Statistik-Toolbox, und das qqplot mit einem einzelnen Argument ist spezifisch für Gaußsche Verteilungen. SAS hat all diese Tests. R hat die Tests.

Ich empfehle dieses Buch, das von 2 Ingenieuren geschrieben wurde, und sie decken mehrere Tests ab, unter anderem in Bezug auf Unabhängigkeit und Stationarität. Das Buch orientiert sich am praktischen Minimum der Mathematik.

Bendat, Julius S. und Allan G. Piersol. Zufällige Daten: Analyse- und Messverfahren. Vol. 729. John Wiley & Sons, 2011.

Das Problem bei diesen Tests ist, dass sie nicht einem Signal plus Noise-Szenario entsprechen. Die Tests gehen im Allgemeinen davon aus, dass die Zeitreihen alle Gauß'sch sind oder nicht. Ein konstanter Mittelwert ist kein Problem. Signale sind normalerweise nicht Gaußsch und ein einfacher Test kann den Unterschied nicht erkennen.

Signalverarbeitungsoperationen wie eine DFT zeigen in der Regel zentrale Grenzwertsätzeffekte auf Daten. Sie müssen sich daher bewusst sein, dass selbst bei linearen Transformationen ein nicht-Gaußsches PDF nicht erhalten bleibt.

Es sollte auch beachtet werden, dass Gauß aus praktischer Sicht nicht schwarz und weiß ist. Algorithmen mit Gaußschen Annahmen funktionieren normalerweise gut, auch wenn die Gaußsche Annahme nicht streng gültig ist. Dinge wie Bimodalität und Nicht-Symmetrie sind wichtiger zu wissen. Cauchy (schwere Schwänze) wie Lärm und multiplikativer Lärm sind ebenfalls wichtig zu wissen.

AlexTP
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Könnten Sie bitte mehr über "Signalverarbeitungsoperationen wie eine DFT erklären, die dazu neigen, zentrale Grenzwertsätzeffekte auf Daten zu manifestieren, daher müssen Sie sich bewusst sein, dass selbst lineare Transformationen kein nicht-Gaußsches PDF bewahren." ? Ich meine, warum die Tatsache, dass lineare Transformationen nicht-Gaußsches PDF nicht bewahren, überrascht ist. Vielen Dank.
AlexTP
Überrascht? Bist du überrascht?
Ich verstehe einfach nicht, was du sagen willst. Aufgrund meines bescheidenen Wissens kenne ich nur die Aussage, dass lineare Transformationen das Gaußsche PDF bewahren .
AlexTP
und wie bewahrt eine lineare Transformation nicht einen nicht-Gaußschen PDF-Konflikt mit Ihrem bescheidenen Wissen. Da ich sagte, dass die Tests nicht geeignet sind, die Normalität bei Vorhandensein eines Signals zu bestimmen, würde es vielen einfallen, dass das Herausfiltern des Signals und das anschließende Anwenden des Tests auf das, was übrig bleibt, ein Ansatz wäre, also eine lineare Transformation, dh FFT Eine basierte Faltung würde alle nicht-Gaußschen Eigenschaften des Rauschens verändern und den Test auf Normalität ausrichten. Ihr bescheidenes Wissen würde das CLT einschließen, nicht wahr?
Nein, was Sie sagen, steht nicht im Widerspruch zu meinem bescheidenen Wissen, zu dem glücklicherweise CLT gehört. Ich weiß nur nicht, dass "lineare Transformationen (oder sogar nichtlineare Transformationen) nicht-Gaußsches PDF bewahren" ein häufiger Fehler ist, den Menschen fälschlicherweise erwarten. Ich meine, wenn ein PDF nicht Gaußsch ist, erwarte ich normalerweise nichts von seinem transformierten Gegenstück. Danke für die Erklärung.
AlexTP