Wie entspricht diese Gleichung der Glättung?

Bitte helfen Sie mir, die Glättung von Daten zu verstehen. Dies ist eine Fortsetzung meiner vorherigen Frage, die hier veröffentlicht wurde . Besonders die Top-Antwort von Junuxx, wo er einen Weg zur Glättung einer Funktion sagt$f(x)$ ist:

hier können wir das für jeden Punkt in sehen $f[x]$Wir nehmen einen gewichteten Durchschnitt dieses Punktes und seiner zwei benachbarten Punkte, um eine geglättete Version von zu erhalten $f[t]$ namens $f'[t]$.

Ein Artikel über Sprachverbesserung erklärt, dass eine Gleichung der Form

hilft uns, den Wert von y als rekursive Glättung von x zu erhalten. Hier$a[i]$ wirkt als Glättungsparameter und wird selbst berechnet als

wo $p[i]$ wird an anderer Stelle berechnet und Alpha ist eine Konstante. $y[i]$, $a[i]$, und $x[i]$ sind alle Arrays mit $i$ Elemente.

Wie kann ich diese Gleichung von in Beziehung setzen? $y[i]$ mit der Gleichung von $f'[t]$? Beide dienen zum Glätten von Daten, jedoch Gleichung für$f'[t]$ enthält den gewichteten Durchschnitt aufeinanderfolgender Punkte im Array für $f[x]$ selbst während die Gleichung für $y[i]$ enthält keine aufeinander folgenden Datenpunkte für $x[i]$. Wie können wir diese Gleichung als Glättung von Daten in verstehen?$x$?

Wenn diese Frage nicht relevant ist, wenn die Gleichungen aus dem Zusammenhang gerissen werden, werde ich gerne weitere Einzelheiten mitteilen.

Die erste Gleichung, die Sie angeben, ist die Differenzgleichung für ein Tiefpass- FIR-Filter oder ein lineares Filter mit einer Impulsantwort von endlicher Dauer. Ich werde es etwas anders schreiben (damit es zeitlich und kausal ausdrücklich diskret ist ):

$f_s[n]$ ist die geglättete Version der zeitdiskreten Eingabesequenz $f[n]$, durch Passieren erzeugt $f[n]$ durch ein FIR-Filter mit den Koeffizienten $[0.1, 0.8, 0.1]$. Der Frequenzgang dieses Filters ist wie folgt:

Wie sich herausstellt, ist es kein sehr guter Tiefpassfilter. Wie der Name schon sagt, sollte ein Tiefpassfilter niederfrequente Inhalte durchlassen und gleichzeitig höhere Frequenzen entfernen. Dies bietet die "Glättungs" -Aktion, nach der Sie suchen, da "gezackte", nicht glatte Funktionen mit hohen Frequenzen verbunden sind, da sie sich mit der Zeit schnell ändern.

Ihre zweite Gleichung ist ein Beispiel für ein Tiefpass- IIR-Filter , ein lineares Filter, dessen Impulsantwort unendlich lang ist. Die Differenzgleichung des Filters lautet:

wo $x[n]$ ist der Filtereingang und $y[n]$ist der Filterausgang. Dieser Filtertyp wird häufig als Tiefpassfilter mit geringer Komplexität verwendet und wird häufig als undichter Integrator bezeichnet . Es wird wegen seiner einfachen Implementierung, seines geringen Rechenaufwands und seiner Abstimmbarkeit bevorzugt: Seine Grenzfrequenz hängt vom Wert von ab$\alpha$. $\alpha$ kann Werte für das Intervall annehmen $[0,1)$. $\alpha = 0$ergibt überhaupt keine Filterung (die Ausgabe ist gleich der Eingabe); wie$\alpha$nimmt zu, die Grenzfrequenz des Filters nimmt ab. Sie können sich vorstellen$\alpha = 1$ als Grenzfall, in dem die Grenzfrequenz unendlich niedrig ist (der Filterausgang ist für alle Zeiten Null).

Als Beispiel, wenn $\alpha = 0.8$ist der Frequenzgang des Filters wie folgt:

Das ist ein besserer Filter als Ihr FIR-Beispiel. es ergibt eine viel bessere Dämpfung der Frequenzen zum oberen Ende des Bandes. Auch wenn es bei Betrachtung der Differenzgleichung (aufgrund der Rückkopplung vom Filterausgang zurück zu seinem Eingang) möglicherweise nicht offensichtlich ist, führt es aufgrund seiner Tiefpassnatur eine effektive Glättung des Eingangs durch. Ich bin mir nicht sicher, ob diese Beschreibung für Ihre Anwendung besonders aussagekräftig ist, aber dies sind ziemlich grundlegende Signalverarbeitungskonzepte. Einige Studien zu einführenden DSP-Texten könnten helfen, die Lücken zu schließen.

Bearbeiten: Auf Anfrage sehen Sie hier ein Diagramm, das beide Antworten auf denselben Achsen zeigt und die relativ schlechte Dämpfung des FIR-Beispielfilters veranschaulicht: