Wie funktioniert die „Region der Konvergenz“ der

Ich bin ein DSP-Neuling und habe nur wenige Zweifel an der $\mathcal Z$ Transformation und ihrer Konvergenzregion (ROC).

Ich weiß, was eine $\mathcal Z$ Transformation ist. Aber ich habe Probleme mit dem Verständnis der Republik China. Zunächst habe ich einige Verwechslungen mit $X(z)$ und $x(z)$ . Ich werde leicht erwischt, wenn ich diese Begriffe austausche. Ich weiß, dass der ROC den Bereich definiert, in dem die $\mathcal Z$ Transformation existiert. Aus dem Internet und meinen Büchern heißt es:

Wenn $x[n]$ eine Sequenz mit endlicher Dauer ist, ist der ROC die gesamte $z$ Ebene, außer möglicherweise $z = 0$ oder $\lvert z\rvert = \infty$ . Eine Sequenz mit endlicher Dauer ist eine Sequenz, die in einem endlichen Intervall n 1 ≤ n ≤ n 2 ungleich Null ist$n_1 \le n \le n_2$

Und später heißt es:

Wenn $n_2 > 0$ gibt es einen $z^{-1}$ Term und daher enthält der ROC nicht $z=0$ . Wenn $n_1 < 0$ ist die Summe unendlich und somit enthält der ROC nicht $\lvert z\rvert=\infty$ .

Hier stecke ich fest!. Was sie in der obigen Zeile zu sagen versuchen " Wenn $n_2 > 0$ gibt es einen $z^{-1}$ Term und somit enthält der ROC nicht $z=0$ " Was meinen sie mit $z=0$ ? Ersetzen sie $z$ durch $0$ , wenn ja in welcher Gleichung?

Wie berechnen wir den Konvergenzbereich für eine unendliche Folge?

Um ganz ehrlich zu sein, fand ich die Theorie hinter der Z-Transformation auch im College etwas undurchsichtig. Im Nachhinein hätte ein Kurs in komplexer Analyse dies klarer gemacht. Und auch ich mag die Notationskonventionen nicht, die für dieses Zeug verwendet zu werden scheinen. Genau genommen ist das hier die übliche Konvention

• $x[n]$
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • Die Klammern kennzeichnen ein diskretes Argument
• $X(z)$
  • $z\in\mathbb{C}$
  • Die Klammern bezeichnen eine Funktion, die einen Parameter mit kontinuierlichem Wert akzeptiert
  • $X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Was meinen sie mit z = 0? Ersetzen sie z durch 0, wenn ja in welcher Gleichung?

$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

$x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Wenn Ihr Text sagt " Wenn gibt es einen -Term und somit enthält der ROC nicht$n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", bedeutet dies, dass für einige ungleich Null ist ist es unvermeidlich, dass die z-Transformation einen -Term enthält, der bei gegen unendlich divergiert . Das ist alles.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Wie berechnen wir den Konvergenzbereich für eine unendliche Folge?

Viel Mathe. Ha!

Um dies zu erreichen, müssen Sie zunächst eine algebraische Formulierung für die betreffende Sequenz erhalten, diese in die Z-Transformationsdefinition einfügen und mithilfe der aus der Analyse geometrischer Reihen (und komplexer Potenzreihen) verfügbaren Werkzeuge bestimmen, wo diese Z liegen -Transformation konvergiert / divergiert. In der Praxis ist die Bestimmung, ob konvergiert, die wichtigste zu beantwortende Frage, da dies die Stabilität bestimmt und ob Sie einen Frequenzgang vom System usw. erhalten können oder nicht. Die Kausalität kann jedoch auch von Bedeutung sein, je nachdem, was Sie tun mache ich.$|z|=1$