Warum erreicht die Autokorrelation ihren Höhepunkt bei Null?

Ich weiß, dass die Nullpunktverschiebung in der Autokorrelationsfunktion gleich ihrer Energie ist, aber ich möchte verstehen, warum der Peak bei Null liegt.

Suchen Sie einen formalen Beweis oder die Intuition dahinter? Im späteren Fall: "Nichts kann einer Funktion ähnlicher sein als sich selbst". Die Autokorrelation bei Verzögerung $\tau$ misst die Ähnlichkeit zwischen einer Funktion $f$ und derselben um verschobenen Funktion $\tau$. Es ist zu beachten, dass, wenn $f$ periodisch ist, $f$ um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von verschoben ist $\tau$und $f$ zusammenfällt, so dass die Autokorrelation eine Kammform hat - mit Spitzen bei den ganzzahligen Vielfachen der Periode mit der gleichen Höhe wie die zentrale Spitze.

Die Autokorrelationsfunktion eines aperiodischen zeitdiskreten Signals mit endlicher Energie ist gegeben durch

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ für reale Signale bzw. komplexe Signale. Beschränken wir uns zur Erleichterung der Darstellung auf reale Signale, betrachten wir den Summanden$x[m]x[m-n]$ . Für eine feste Verzögerung$n$ und ein gegebenes$m$ hat$x[m]x[m-n]$ typischerweise einen positiven oder negativen Wert. Wenn es passiertso dass für eine bestimmte Verzögerung$n$ ,$x[m]x[m-n]$ ist nichtnegativ für alle$m$ , addieren sich alle Terme in der Summe (keine Stornierung) und so$R_x[n]$ hat garantiert einen positiven Wert. Tatsächlich ist die Summe am größten, wenn alle Spitzen in $x[m-n]$ mit Spitzen in $x[m]$ und die Täler in $x[m-n]$ mit den Tälern in $x[m]$ . Wenn $x$ beispielsweise eine überabgetastete Sinc-Funktion ist, sagen wir $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ mit Spitzen bei$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$und Tälern bei $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, dann$R_x[n]$haben Maximabei$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (und aus dem gleichen Grund haben sieMinimabei$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ wenn die Spitzen mit Tälern ausgerichtet sind). DasglobaleMaximum von$R_x[n]$ liegt offensichtlich bei der Verzögerung $n = 0$ wenn der höchste Peak in$x[m]$ und$x[m-n]$ zusammenfällt. In der Tat gilt diese Schlussfolgerung nicht nur für dieses aufrichtige Signal, sondern fürjedes Signal. Bei Verzögerung $n = 0$ haben wir $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ and we are guaranteed that not only are all the peaks and valleys lined up with each other (no matter where these occur in $x[m]$) but also that the highest peaks and deepest valleys are lined up appropriately.

Formal, mehr für Pedanten wie @JohnSmith der formalen Beweise verlangen, die Cauchy Inequality sagt , dass für komplexwertige Sequenzen $u$ und $v$ ,

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ Eine detailliertere Version besagt, dass wir uns nur auf realwertige Sequenzen beschränken, um die Darstellung zu vereinfachen $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ where equality holds in the upper (lower) bound if there is a positive (negative) number $\lambda$ such that $u = \lambda v$, (that is, $u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ where $\lambda > 0$ ($\lambda < 0$)). Recognizing that the sums inside the square roots are the energies $\mathcal E_u$ and $\mathcal E_v$ of the sequences, we can write that $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ Setting $u[m] = x[m]$ and $v[m] = x[m-n]$ where $n$ is some integer, we have that $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ and recognizing that now $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, we have that $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ with equality holding in one of the bounds if $x[m] = \lambda x[m-n]$ for all $m$. Finally, noting that $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ and that when $n=0$, the sequence $u[m] = x[m]$ is identical to the sequence $v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (that is, $\lambda = 1$ is the positive real number such that $u[m] = \lambda v[m]$ for all $m$), we have that $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ showing that $R_x[n]$ has a peak value at $n=0$, all other autocorrelation values are smaller than this peak.

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When $x[m]$ is a periodic finite-power signal, the sums given above for $R_x[n]$diverge. In such cases, one uses the periodic autocorrelation function

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ where $N$ is the period of $x[m]$, that is, $x[m] = x[m-N]$ for all integers $m$. Note that $R_x[n]$ is a periodic function of $n$. Now, while it is true that $R_x[0] \geq |R_x[n]|$ for $1 < n < N$, the maximum value $R_x[0]$ also repeats periodically: $R_x[kN] = R_x[0]$ for all integers $k$. Note also that it is possible that $R_x[n] = -R_x[0]$ for some $n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$, typically at $n = N/2$ if $N$ is even, and so we can have valleys that are as deep as the tallest peaks in the periodic autocorrelation function. The simplest example of such a sequence is when $N=2$ and one period of the sequence is $[1 ~ -1]$ whose periodic autocorrelation is just the periodic sequence $[2 ~ -2]$, that is, alternating peaks and valleys with the autocorrelation $R_x[n]$ having peak value $2$ when $n$ is an even integer (don't forget that $0$ is an even integer!) and having "anti peak" value $-2$ at odd values of $n$. More generally, we have this phenomenon whenever $N$ is even and one period $\vec{x}$ can be decomposed into $[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$.

using

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

one can easily show that

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

the first term is simply $R_x[0]$ and the second term is a non-negative number being subtracted from the first. that means $R_x[m]$ cannot exceed $R_x[0]$ for any $m$.