Wie lässt sich der stationäre Kalman-Filter-Prädiktor ableiten?

In seinem Kapitel über Kalman-Filter heißt es in meinem DSP-Buch, scheinbar aus heiterem Himmel, der stationäre Kalman-Filter für ein System

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

hat den Prädiktor

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

und stationäre Zustandsvektorkovarianz und Kalman-Gewinn

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

wobei $Q$ und $R$ die Kovarianzen des Eingangsrauschens $w$ bzw. des Messrauschens $v$ bezeichnen.

Ich kann nicht sehen, wie ich aus dem Minimum-Varianz-Prädiktor zu diesem Ergebnis komme. Könnte es mir jemand erklären oder mich auf eine Ressource verweisen, die den Ausdruck ableitet? Dies ist das zeitvariante Minimum-Varianz-Filter, das ich ableiten kann :

P(t+1|t)=A(P(t|t-1)-P(t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich von hier zum stationären Filter weiter oben gehen soll.

Update: Ich kann sehen, dass das Einsetzen von $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ und $K(t)=A\bar{K}$ in den zeitvarianten Filter zu führt der stationäre Filter, aber warum mit A multiplizieren $A$? Ist dies nur ein Symptom für eine unglückliche Wahl der Notation, was bedeutet, dass entweder $K$ oder $\bar{K}$ nicht wirklich den Kalman-Gewinn bedeuten ?

Ihre Ableitungen sind korrekt.

K(t)=A ˉ $\bar P = P(t|t-1)$ und$K(t) = A \bar K$

Ist das deine Verwirrung:

1. Warum hatten sie in den Kalman Gain und Covariance Matrix Expressions nicht den Term ?$t|t-1$
2. Wie kann dies "stationär" sein, wenn Ihre Ableitung zeigt, dass es sich um eine zeitlich variierende Ableitung handelt?

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1. Falsche Wahl der Notation seitens des Buches

Schauen wir uns den Ausdruck: . Die Tatsache, dass eine Funktion von sich selbst ist, zeigt eine rekursive Beziehung. Mit anderen Worten, es verwendet seine vergangenen Werte. Es ist also NICHT für alle Zeitpunkte gleich - es ändert sich bei jeder Iteration.$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Missverständnis des Wortes "stationär".

Als der Autor des Buches "stationär" sagte, meinte er / sie nicht, dass und zu allen Zeitpunkten den gleichen Wert haben. Stattdessen wollte der Autor betonen, dass die Ausdrücke für diese Werte für alle statistischen Realisierungen gleich sind. Stationarität ist ein statistisches Konzept, bei dem die Statistiken des Systems immer gleich sind. Schauen Sie sich die Ausdrücke für und einmal an. Sie hängen nur von \$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Bisherige Werte von sich
• Übergangsmatrizen und die deterministisch und in Ihrem Fall zeitinvariant sind ( und sind immer gleich)$A$$C$$A$$C$
• $Q$ und sind die Rauschkovarianzmatrizen. Diese 2 Matrizen beschreiben die Statistik der Geräusche und sind in allen Realisierungen und Zeitinstanzen gleich.$R$

Die Kalman-Verstärkung und die Zustands-Kovarianz-Matrix haben für alle Realisierungen dieses Zufallsprozesses den gleichen Wert. ( Randnotiz: Keiner dieser beiden Begriffe hängt von den Messungen ab, . Sie können also vorher berechnet werden. )$K$$P$$y$

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Fazit:

Die von Ihnen abgeleiteten "Zeitvarianten" -Gleichungen entsprachen denen im Buch. Abgesehen von den Unterschieden in der Schreibweise gab es bei Ihnen ein leichtes Missverständnis darüber, was sich ändert und was nicht.