Randverteilung der Diagonale einer inversen Wishart-verteilten Matrix

Angenommen, . Ich interessiere mich für die Randverteilung der diagonalen Elemente . Es gibt ein paar einfache Ergebnisse zur Verteilung von Submatrizen von (zumindest einige, die bei Wikipedia gelistet sind). Daraus kann ich schließen, dass die Randverteilung eines einzelnen Elements auf der Diagonale inverses Gamma ist. Aber ich konnte die gemeinsame Verteilung nicht ableiten. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Ich dachte, vielleicht könnte es durch Komposition abgeleitet werden, wie:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

aber ich bin nie irgendwohin gekommen und habe den Verdacht, dass mir etwas Einfaches fehlt; es scheint, als ob dieses "sollte" bekannt sein, aber ich konnte es nicht finden / zeigen.

distributions probability pdf JMS
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Proposition 7.9 von Bilodeau und Brenner (das PDF ist im Internet frei verfügbar) liefert ein vielversprechendes Ergebnis für den Wishart (vielleicht überträgt es sich auf den inversen Wishart). Wenn Sie

in Blöcke als

, dann ist

Wishart, ebenso wie

, und sie sind unabhängig.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

Shabbychef

Dieser Satz gilt nur, wenn Sie die gesamte Matrix kennen: Wenn Sie nur die Diagonale haben, kennen Sie zB

, sodass Sie die Transformation nicht durchführen können.

X_{12}

$X_{12}$

Petrelharp

Antworten:

Σ = diag (Σ) Q. diag (Σ)^{⊤} = D Q. D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

$d$ $\Sigma$

Σ \sim ich W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

$\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{ich ich} \sim infor- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{ich ich}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Eine schöne Referenz mit einer Vielzahl von Prioren für die Kovarianzmatrix, die sich in verschiedene Varianz-Korrelationsverteilungen auflösen, finden Sie hier

user3303
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