Kann ein Wahrscheinlichkeitsverteilungswert von mehr als 1 in Ordnung sein?

Auf der Wikipedia-Seite über naive Bayes-Klassifikatoren gibt es diese Zeile:

$p(\mathrm{height}|\mathrm{male}) = 1.5789$ (Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über 1 ist in Ordnung. Es ist die Fläche unter der Glockenkurve, die gleich 1 ist.)

Wie kann ein Wert $>1$ OK sein? Ich dachte, dass alle Wahrscheinlichkeitswerte im Bereich ausgedrückt wurden $0 \leq p \leq 1$. Wenn es möglich ist, einen solchen Wert zu haben, wie wird dieser Wert in dem auf der Seite gezeigten Beispiel erhalten?

Diese Wiki-Seite missbraucht die Sprache, indem sie auf diese Zahl als Wahrscheinlichkeit verweist. Sie haben Recht, dass es nicht ist. Es ist tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit pro Fuß . Insbesondere impliziert der Wert von 1,5789 (für eine Höhe von 6 Fuß), dass die Wahrscheinlichkeit einer Höhe zwischen beispielsweise 5,99 und 6,01 Fuß in der Nähe des folgenden Werts ohne Einheit liegt:

Dieser Wert darf , wie Sie wissen, 1 nicht überschreiten. (Der kleine Höhenbereich (0,02 in diesem Beispiel) ist ein entscheidender Teil des Wahrscheinlichkeitsapparats. Es ist das "Differential" der Höhe, das ich mit abkürzen werde .) Wahrscheinlichkeiten pro Einheit von etwas werden in Analogie Dichten genannt auf andere Dichten, wie Masse pro Volumeneinheit.$d(\text{height})$

Bona - fide - Wahrscheinlichkeitsdichten haben beliebig große Werte, auch unendlich diejenigen.

Dieses Beispiel zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Verteilung Gamma (mit Formparametern von und der Skala von 1 / 5 ). Da der größte Teil der Dichte kleiner als 1 ist , muss die Kurve höher als 1 ansteigen, um für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine Gesamtfläche von 1 zu erhalten .$3/2$$1/5$$1$$1$$1$

Diese Dichte (für eine Beta - Verteilung mit Parametern , ) wird bei unendlicher 0 und 1 . Die Gesamtfläche ist noch begrenzt (und entspricht 1 )!$1/2, 1/10$$0$$1$$1$

Der Wert von 1,5789 / Fuß wird in diesem Beispiel erhalten, indem geschätzt wird, dass die Höhen der Männchen eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 5,855 Fuß und einer Varianz von 3,50e-2 Quadratfuß aufweisen. (Dies ist in einer vorhergehenden Tabelle zu finden.) Die Quadratwurzel dieser Varianz ist die Standardabweichung von 0,18717 Fuß. Wir drücken 6 Fuß als Anzahl der SDs aus dem Mittelwert erneut aus:

Die Division durch die Standardabweichung ergibt eine Beziehung

Die Normale Wahrscheinlichkeitsdichte ist per Definition gleich

$d(\text{height})$$1.5789$

Dies ist ein häufiger Fehler, wenn der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen, bei denen die Variable diskret ist, und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, bei denen die Variable stetig ist, nicht verstanden wird. Siehe Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung :

kontinuierliche wahrscheinlichkeitsfunktionen sind für eine unendliche anzahl von punkten über ein kontinuierliches intervall definiert, die wahrscheinlichkeit an einem einzelnen punkt ist immer null. Wahrscheinlichkeiten werden über Intervalle gemessen, nicht über einzelne Punkte. Das heißt, der Bereich unter der Kurve zwischen zwei unterschiedlichen Punkten definiert die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall. Dies bedeutet, dass die Höhe der Wahrscheinlichkeitsfunktion tatsächlich größer als eins sein kann. Die Eigenschaft, dass das Integral gleich eins sein muss, entspricht der Eigenschaft für diskrete Verteilungen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein muss.

$[a,b]$$1/(b-a)$$b-a$$1$$1/(b-a)$

$[0,0.5]$$1/(0.5-0)=2$$[0,0.1]$$10$

Ich weiß nicht, ob der Wikipedia-Artikel nach den ersten Beiträgen in diesem Thread bearbeitet wurde, aber jetzt heißt es "Beachten Sie, dass hier ein Wert größer als 1 in Ordnung ist - es handelt sich eher um eine Wahrscheinlichkeitsdichte als um eine Wahrscheinlichkeit, da es sich um eine Höhe handelt eine stetige Variable. ", und zumindest in diesem unmittelbaren Zusammenhang wird P für die Wahrscheinlichkeit und p für die Wahrscheinlichkeitsdichte verwendet. Ja, sehr schlampig, da der Artikel p an einigen Stellen als Wahrscheinlichkeitsdichte und an anderen Stellen als Wahrscheinlichkeitsdichte verwendet.

Zurück zur ursprünglichen Frage "Kann ein Wahrscheinlichkeitsverteilungswert größer als 1 in Ordnung sein?" Nein, aber ich habe es gesehen (siehe meinen letzten Absatz unten).

So interpretieren Sie eine Wahrscheinlichkeit> 1. Beachten Sie zunächst, dass Menschen 150% ihrer Leistung erbringen können und tun, wie wir es im Sport oft hören und manchmal arbeiten. Https://www.youtube.com/watch?v=br_vSdAOHQQ . Wenn Sie sicher sind, dass etwas passieren wird, ist das eine Wahrscheinlichkeit von 1. Eine Wahrscheinlichkeit von 1,5 kann so interpretiert werden, dass Sie sich zu 150% sicher sind, dass das Ereignis eintrifft - wie wenn Sie sich zu 150% anstrengen.

Und wenn Sie eine Wahrscheinlichkeit> 1 haben können, können Sie vermutlich eine Wahrscheinlichkeit <0 haben. Negative Wahrscheinlichkeiten können wie folgt interpretiert werden. Eine Wahrscheinlichkeit von 0,001 bedeutet, dass das Ereignis so gut wie nicht eintreten kann. Wahrscheinlichkeit = 0 bedeutet "no way". Eine negative Wahrscheinlichkeit, wie zum Beispiel -1,2, entspricht "Du machst Witze".

$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$$P_y$auf ca. 1.8 aufsteigen. Und so wurde die Einheitsbarriere in der Wahrscheinlichkeit gebrochen. Aber der Typ wusste nicht, dass er diese Pionierleistung vollbracht hatte, bis ich ihn darauf hinwies, nachdem ich gerade in einem abgedunkelten Konferenzraum eine schnelle Berechnung mit einem Casio-Taschenrechner in Kreditkartengröße durchgeführt hatte (was nicht möglich gewesen wäre) einen solarbetriebenen Rechner). Das wäre so, als würde Chuck Yeager sonntags in seinem Flugzeug eine Spritztour machen und erst Monate später erfahren, dass er die Schallmauer durchbrochen hat.

$X$$f(x)$$f(x)dx$$f(x)$$f(\mbox{height}|\mbox{male})$$f(\mbox{height}|\mbox{male})d\mbox{height}$

$X$$P(X\in[x,x+dx))=f(x)dx$$P(X\in[a,b])=\int_{a}^{b}f(x)dx$$P(X = x)=P(X \in [x,x])=0$

Der Punktwert bei einem bestimmten Parameterwert eines Wahrscheinlichkeitsdichtediagramms wäre eine Wahrscheinlichkeit, oder? In diesem Fall kann die Aussage durch einfaches Ändern von P (Größe | Mann) in L (Größe | Mann) korrigiert werden.