Ist in einem mit einer gewissen Effizienz gemessenen Poisson-Prozess die gemessene Anzahl immer noch Poisson?

Situation:

Angenommen, ich habe einen Poisson-Prozess wie den radioaktiven Zerfall, bei dem R- Partikel pro Sekunde erzeugt werden. Ich messe mit einem Detektor. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit P, dass ein Partikel vom Detektor erfasst wird.

Dinge, die ich zu wissen glaube:

1. Die Zwischenankunftszeit der Partikelemission ist exponentiell mit Parametern verteilt, die auf R basieren .
2. Die Anzahl der vor dem Nachweis emittierten Partikel wird durch ein negatives Binom auf Basis von P angegeben .
3. Wenn eine Zahl N aus (2) abgetastet wird, kann eine einzelne Probe der Zwischenankunftszeit für detektierte Partikel durch die Summe von N Proben aus (1) gegeben werden. Diese Summe kann durch Abtasten aus einer Gammaverteilung mit Parametern erhalten werden, die auf N und R basieren .

Meine Frage:

Wenn eine einzelne Zwischenankunftszeit durch Abtasten von einem Gamma basierend auf N und R berechnet werden kann , wie wird dann die Anzahl der Detektorzählungen in einem Intervall wieder Poisson? (Um Poisson zu sein, muss die Zwischenankunftszeit für den Detektor exponentiell sein und darf nicht nach einer seltsamen Gammasache verteilt sein.) Natürlich schwankt N , aber ich kann nicht sehen, wie das funktioniert.

Ich bin mir jedoch fast sicher, dass die Detektorzahlen tatsächlich Poisson-verteilt sind. Könnte mir jemand die Mathematik zeigen? Danke für die Hilfe!

BEARBEITEN:

Ich fand dieses Papier: Fried, DL "Rauschen im Photoemissionsstrom." Applied Optics 4.1 (1965): 79 & ndash; 80.

Dies zeigt das Ergebnis, dass eine binomial ausgewählte Poisson-Zufallsvariable auch Poisson mit einer von PR gegebenen Rate ist. Dies bestätigt den Kommentar von jbowman. Trotzdem würde mich interessieren, wie mein Prozess der Erzeugung der Zwischenankunftszeit am Detektor unter Verwendung der negativen Binomial- und Gammaverteilung falsch ist. Dies ist mein größter geistiger Schluckauf. Vielen Dank.

EDIT 2:

Ich habe dieses Matlab-Skript geschrieben, um zu testen, ob das, was ich mit der Gamma-Verteilung versucht habe, funktioniert. Es stellt sich heraus, dass die mit einem geometrisch verteilten N erzeugten Gamma-Zwischenankunftszeiten exponentiell sind und mit den von Poisson (PR) vorgeschlagenen Zwischenankunftszeiten übereinstimmen. (ia2 und ia3 sind identisch verteilt). Irgendeine Idee, wie das analytisch funktioniert? Es war mir nicht intuitiv klar!

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n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

$R$$p_{0i}$$P$

$\lambda_{obs}=RP$

$O(t)$$N(t)\sim PP(r)$$N(t)$$O(t)$$p$$s$$N(s)=n$$O(s)$$n,p$) Verteilung.

Dieser Ansatz verwendet wahrscheinlichkeitsgenerierende Funktionen:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Letzte Gleichheit nach dem Binomialsatz. Dann bedingungslos, da :$N(t)\sim Poisson(rt)$

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Welches ist die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion einer Poisson ( ) Zufallsvariablen.$rpt$