Beispiele für eine fehlerhafte Anwendung des Bayes-Theorems

Diese Frage der Math Overflow- Community fragte nach "Beispielen für schlechte Argumente, die die Anwendung mathematischer Theoreme in nicht-mathematischen Kontexten beinhalten" und erstellte eine faszinierende Liste pathologisch angewandter Mathematik.

Ich wundere mich über ähnliche Beispiele für pathologische Verwendungen der Bayes'schen Folgerung. Hat jemand auf akademische Artikel gestoßen, exzentrische Blog-Posts, die Bayes'sche Methoden auf kranke Weise anwenden?

Ja. Ich wurde kürzlich als statistischer Berater eingestellt, um einen bestimmten (ziemlich schrecklichen) Artikel zu untersuchen, dessen Autoren es geschafft haben, sich in einem Brief an den Herausgeber unter Verwendung des Bayes-Theorems noch schlechter aussehen zu lassen. Sie begannen mit einem falsch berechneten positiven Vorhersagewert aus ihrem Artikel (PPV = angeblich 95%). Sie ignorierten grundsätzlich einen kritischen Brief von Ricci ^{_{(2004) darüber}} , der versuchte (und scheiterte), ihnen zu sagen, wie sie ihn hätten berechnen sollen (er schlug 82,3% vor). Dann fanden sie ein Biostat-Lehrbuch ^{_{(Elston & Johnson, 1994)}} und zitierten es falsch. Wir haben das Buch gekauft und nachgesehen, aber im Nachhinein war dies genauso unnötig, wie ich vermutet hatte. Holen Sie sich eine Ladung dieses Chaos (aus dem Antwortschreiben von Barsness et al. An den Herausgeber):

$$\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$beträgt 98,3 Prozent. Bei Verwendung der oben genannten niedrigeren PPV-Berechnung von 82,3 Prozent beträgt die Wahrscheinlichkeit eines echten Ereignisses 98,1 Prozent.

Sehen Sie etwas seltsam kohärentes hier? Ich weiß nicht ...

1. Dies ist der Satz von Bayes, wie ihn Elston und Johnson ^{₍₁₉₉₄₎} auf ein Beispiel für die Vererbung von Hämophilie anwenden:

   $$\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$$

   Die Diskrepanzen sprechen für sich, aber hier ist ein Zitat aus ihrer Diskussion des Beispiels:

   Die Tatsache, dass sie einen Sohn hatte, der nicht betroffen ist, verringert die Wahrscheinlichkeit, dass sie das Hämophilie-Gen geerbt hat, und damit die Wahrscheinlichkeit, dass ihr zweiter Sohn betroffen sein wird.

   Wo Barsness und Kollegen auf die Idee kamen, dass eine niedrige Prävalenz PPV stärkt , weiß ich nicht, aber sie haben sicher nicht auf ihr eigenes Lehrbuch ihrer Wahl geachtet.

2. $$p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$

3. Wenn man ihre Prävalenzinformationen und einige vernünftige Schätzungen der Sensitivität und Spezifität aus anderen Studien zu diesem Thema verwendet, stellt sich heraus, dass der PPV viel niedriger ist (möglicherweise nur 3%). Das Lustige ist, dass ich nicht einmal daran gedacht hätte, den Satz von Bayes zu verwenden, wenn sie nicht versucht hätten, ihn zu verwenden, um ihren Fall zu stärken. Bei einer Prävalenz von 1,6% wird dies eindeutig nicht funktionieren.

^{Referenzen
· Barsness, KA, Cha, ES, Bensard, DD, Calkins, CM, Partrick, DA, Karrer, FM & Strain, JD (2003). Der positive Vorhersagewert von Rippenfrakturen als Indikator für ein nicht versehentliches Trauma bei Kindern. Journal of Trauma-Injury, Infection and Critical Care, 54 (6), 1107–1110.
· Elston, RC & Johnson, WD (1994). Grundlagen der Biostatistik (2. Aufl.). Philadelphia: FA Davis Company.
· Ricci, LR (2004). Leserbriefe. Journal of Trauma-Injury, Infection and Critical Care, 56 (3), 721.}