Finden Sie den erwarteten Wert mit CDF

34

Ich beginne damit, dass dies direkt aus dem Buch heraus ein Problem mit den Hausaufgaben ist. Ich habe ein paar Stunden damit verbracht, nach den erwarteten Werten zu suchen, und festgestellt, dass ich nichts verstehe.

Lassen Sie X die CDF . Suchen Sie für die Werte von für die existiert.F(x)=1-x-α,x1
E(X)αE(X)

Ich habe keine Ahnung, wie ich damit anfangen soll. Wie kann ich feststellen, welche Werte von existieren? Ich weiß auch nicht, was ich mit der CDF machen soll (ich gehe davon aus, dass dies kumulative Verteilungsfunktion bedeutet). Es gibt Formeln zum Ermitteln des erwarteten Werts, wenn Sie eine Frequenzfunktion oder Dichtefunktion haben. Wikipedia sagt, die CDF von kann in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie folgt definiert werden:αXf

F(x)=-xf(t)dt

Das ist so weit wie ich gekommen bin. Wohin gehe ich von hier aus?

EDIT: Ich wollte .x1

Styfle
quelle

Antworten:

19

Bearbeitet für den Kommentar von Wahrscheinlichkeitslogik

Beachten Sie, dass in diesem Fall ist, die Verteilung also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 kleiner als 1 ist , also x 1 , und Sie benötigen außerdem α > 0 für eine zunehmende cdf.F(1)=001x1α>0

Wenn Sie das cdf haben, dann möchten Sie das Anti-Integral oder Derivat mit einer kontinuierlichen Verteilung wie dieser

f(x)=dF(x)dx

und umgekehrt für x 1 .F(x)=1xf(t)dtx1

Dann, um die Erwartung zu finden, müssen Sie finden

E[X]=1xf(x)dx

vorausgesetzt, dass dies existiert. Ich werde den Kalkül dir überlassen.

Henry
quelle
3
@henry - , daher kann die Unterstützung nicht unter 1 liegen (da CDF eine nicht abnehmende Funktion ist)F(1)=11α=11=0
Wahrscheinlichkeit ist
@ probabilityislogic: Sie können in Bezug auf das Buch richtig sein. Ich werde meine Antwort ändern.
Henry
Danke für die Antwort. Was bedeutet f (x)? Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion? Ist die Ableitung der cdf immer f (x)?
Styfle
1
soll in der Tat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sein. Wenn das cdf eine Ableitung hat, dann ist es die Dichte, obwohl es Verteilungen gibt (zum Beispiel diskret), bei denen das cdf nicht überall eine Ableitung hatf(x)
Henry
1
@styfle: Wenn es existiert, dann ist und in ähnlicher Weise für die Erwartungen anderer Funktionen von x . E[X2]=1x2f(x)dxx
Henry
71

Die Verwendung der Dichtefunktion ist nicht erforderlich

Integriere 1 minus der CDF

Wenn Sie eine Zufallsvariable , deren Unterstützung nicht negativ ist (dh die Variable hat eine Dichte / Wahrscheinlichkeit ungleich Null für nur positive Werte), können Sie die folgende Eigenschaft verwenden:X

E(X)=0(1FX(x))dx

Eine ähnliche Eigenschaft gilt für eine diskrete Zufallsvariable.

Beweis

Da ,1FX(x)=P(Xx)=xfX(t)dt

0(1FX(x))dx=0P(Xx)dx=0xfX(t)dtdx

Dann ändere die Reihenfolge der Integration:

=00tfX(t)dxdt=0[xfX(t)]0tdt=0tfX(t)dt

Erkennen, dass eine Dummy-Variable ist, oder die einfache Substitution t = x und d t = d x nehmen ,tt=xdt=dx

=0xfX(x)dx=E(X)

Zuschreibung

Ich habe den Abschnitt Formeln für Sonderfälle im Artikel Erwarteter Wert auf Wikipedia verwendet , um mein Gedächtnis für den Proof aufzufrischen. Dieser Abschnitt enthält auch Beweise für den Fall der diskreten Zufallsvariablen und für den Fall, dass keine Dichtefunktion existiert.

Feuerfeder
quelle
1
+1 Tolles Ergebnis: Das Integral der cdf ist wirklich einfach, außerdem ist es ratsam, Ableitungen zu vermeiden, wann immer wir können (sie verhalten sich nicht so gut wie Integrale;)). Zusätzlich: Berechnen Sie die Varianz mithilfe der PDF-Datei unter math.stackexchange.com/questions/1415366/…
loved.by.Jesus
2
Wie erhalten Sie die Integrationsgrenzen, wenn Sie die Integrationsreihenfolge ändern?
Zaz
Der Standardbeweis geht nicht davon aus, dass eine Dichte hat. X
ae0709
@Zaz Wir setzen die Integrationsgrenzen so, dass derselbe Teil des (t, x) Raums abgedeckt wird. Die ursprünglichen Bedingungen sind x> 0 und t> x. Die äußeren Grenzen können nicht von der inneren Variablen abhängen, aber wir können den gleichen Bereich wie t> 0 und 0 <x <t definieren. Gute Beispiele für diesen Prozess finden Sie hier: mathinsight.org/…
Fredcallaway
12

Das Ergebnis erstreckt sich auf die - te Moment der X als auch. Hier ist eine grafische Darstellung: kXBildbeschreibung hier eingeben

StijnDeVuyst
quelle
8

Ich denke, Sie meinen tatsächlich , ansonsten ist die CDF leer, da F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .x1F(1)=11α=11=0

Was Sie über CDFs "wissen", ist, dass sie sich schließlich Null nähern, wenn das Argument ohne Bindung abnimmt, und sich schließlich Eins als x nähern . Sie nehmen auch nicht ab, dh 0 F ( y ) F ( x ) 1 für alle y x .xx0F(y)F(x)1yx

Wenn wir also die CDF einstecken, erhalten wir:

01xα111xα0xα1>0x1.

Daraus schließen wir , dass die Unterstützung für heißt x 1 . Jetzt benötigen wir auch lim x F ( x ) = 1, was impliziert, dass α > 0 istxx1limxF(x)=1α>0

Um herauszufinden, welche Werte die Erwartung hat, benötigen wir:

E(X)=1xdF(x)dxdx=α1xαdx

Und dieser letzte Ausdruck zeigt, dass wir - α < - 1 haben müssen , damit existiert , was wiederum α > 1 impliziert . Dies kann leicht erweitert werden, um die Werte von α zu bestimmen, für die das r' -te Rohmoment E ( X r ) existiert.E(X)α<1α>1αrE(Xr)

Wahrscheinlichkeitslogik
quelle
(+1) Insbesondere für die scharfen Augen zu erkennen, dass die gegebene Unterstützung falsch war.
Kardinal
Danke für die Antwort. Ich habe die Frage behoben. Ich wollte x> = 1 setzen. Woher wussten Sie, dass Sie zuerst die cdf differenzieren müssen, um die Dichtefunktion zu erhalten?
Styfle
@styfle - denn das ist ein PDF, wenn die CDF kontinuierlich und differenzierbar ist. Sie können dies sehen, indem Sie sich ansehen, wie Sie Ihre CDF definiert haben. Die Differenzierung eines Integrals ergibt nur dann den Integranden, wenn die Obergrenze Gegenstand der Differenzierung ist.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1
Pr(x<X<x+dx)=F(x+dx)F(x)dF(x)dxdx=f(x)dxdx0
1

Die Antwort, die eine Änderung der Reihenfolge erfordert, ist unnötig hässlich. Hier ist ein eleganter 2-Zeilen-Beweis.

udv=uvvdu

du=dxv=1F(x)

0[1F(x)]dx=[x(1F(x))]0+0xf(x)dx

=0+0xf(x)dx

=E[X]

Chirag Nagpal
quelle
Ich denke, du willst du-dx so lassen, dass u = x.
Michael R. Chernick