Dies ist eine Frage, die aus einer realen Situation stammt, für die ich ernsthaft über ihre Antwort verblüfft bin.
Mein Sohn soll in London in die Grundschule gehen. Da wir Italiener sind, war ich gespannt, wie viele italienische Kinder bereits die Schule besuchen. Ich habe dies der Zulassungsbehörde bei der Bewerbung mitgeteilt und sie hat mir mitgeteilt, dass sie durchschnittlich 2 italienische Kinder pro Klasse (30) haben.
Ich bin jetzt zu dem Zeitpunkt, zu dem ich weiß, dass mein Kind aufgenommen wurde, aber ich habe keine weiteren Informationen über die anderen Kinder. Die Zulassungskriterien basieren auf der Distanz, aber für die Beantwortung dieser Frage können wir davon ausgehen, dass sie auf einer zufälligen Zuordnung einer großen Auswahl von Bewerbern basiert.
Wie viele italienische Kinder werden voraussichtlich in der Klasse meines Sohnes sein? Wird es näher an 2 oder 3 sein?
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Antworten:
Wie immer müssen Sie ein probabilistisches Modell berücksichtigen, das beschreibt, wie die Schule die Kinder auf die Klassen verteilt. Möglichkeiten:
All dies ist vernünftig. Angesichts der Strategie 2 lautet die Antwort auf Ihre Frage Nein. Wenn sie Strategie 3 verwenden, liegt die Erwartung nahe bei 3, ist jedoch etwas geringer. Das liegt daran, dass Ihr Sohn einen "Slot" einnimmt und Sie eine Chance weniger für einen zufälligen Italiener haben.
Wenn die Schule Strategie 1 einsetzt, steigen auch die Erwartungen. Wie viel hängt von der Anzahl der Ausländer pro Klasse ab.
Ohne Ihre Schule zu kennen, gibt es keine Möglichkeit, dies perfekter zu beantworten. Wenn Sie nur eine Klasse pro Jahr haben und die Zulassungskriterien wie beschrieben sind, ist die Antwort dieselbe wie für 3 oben.
Berechnung für 3 im Detail:
X ist die Anzahl der italienischen Kinder in der Klasse. Die 1 stammt von dem bekannten Kind, die 29 sind der Rest der Klasse und 2/30 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein unbekanntes Kind aufgrund der Aussagen der Schule italienisch ist. B ist die Binomialverteilung.
Beachten Sie, dass das mit nicht die richtige Antwort liefert, da das Wissen, dass ein bestimmtes Kind italienisch ist, die von der Binomialverteilung angenommene Austauschbarkeit verletzt. Vergleichen Sie dies mit dem Jungen- oder Mädchen-Paradoxon , bei dem es einen Unterschied macht, ob Sie wissen, dass ein Kind ein Mädchen ist, oder ob Sie wissen, dass das ältere Kind ein Mädchen ist.E(X|X≥1)
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Ein anderer Weg, dies zu sehen, ist auf der Ebene der einzelnen Kinder. Unter der Annahme, dass 30 Kinder zufällig aus einer Population gezogen wurden (was Sie angedeutet haben), können wir auf die grobe Wahrscheinlichkeit ein italienisches Kind aus dieser Population gezogen wird: = .2/30 1/15
Da wir wissen, dass einer der 30 Italiener ist, müssen wir nur die Wahrscheinlichkeit für die verbleibenden Kinder berechnen:
Wenn Sie also wissen, dass Ihr Kind Italiener ist, ändert sich die erwartete Anzahl italienischer Kinder in der Klasse auf ungefähr 2,933, was viel näher an 3 als an 2 liegt.
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Hier sind meine Gedanken, wie ich das angehen soll:
Die Zufallsvariable bezeichne die Anzahl der italienischen Kinder in einer Klasse, die momentan die Größe . Sei der Indikator dafür, dass ein neues Kind Italiener ist. Angenommen, wir fügen dieser Klasse Kind . Dann wird die erwartete Anzahl der italienischen Kinder in dieser Augmented Klasse der Größe ist . Beachten Sie, dass Unabhängigkeit hier keine Rolle spielt, da wir nur die Linearität der Erwartung verwenden. Wenn bekannt ist, dass das Kind italienisch ist, ist mit der Wahrscheinlichkeit 1, sodass wir den erwarteten Wert um 1 erhöht haben.Sn n X X n+1 E(Sn+X)=E(Sn)+E(X)=E(Sn)+P(X=1) X X=1
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Basierend auf den Informationen der Zulassungsstelle folgt die Anzahl der italienischen Kinder unter der Annahme der Unabhängigkeit dem Binomial . Jetzt wissen Sie in Ihrer Klasse, dass es mindestens ein italienisches Kind gibt, sodass die Erwartung zu . Für von (wenn ich meine Berechnung richtig durchführe).Binom(30,2/30) E(X|X≥1) X∼Binom(30,2/30) 2.28
Bearbeiten. Bewertung der Erwartung:
(Beachten Sie die Änderung der Summenuntergrenze im letzten Schritt)
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Nein. Ihre Kenntnis der bevorstehenden Ereignisse ändert nichts an der typischen Erfahrung der Schule.
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