Bedeutet eine Korrelation ungleich Null eine Abhängigkeit?

Wir wissen, dass eine Nullkorrelation keine Unabhängigkeit bedeutet. Ich bin daran interessiert, ob eine Korrelation ungleich Null eine Abhängigkeit impliziert - dh wenn für einige Zufallsvariablen und , können wir im Allgemeinen sagen, dass ?X Y f X , Y ( x , y ) ≤ f X ( x ) f Y ( y $\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Ja, weil

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

was unmöglich wäre, wenn . So$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Frage: Was passiert mit Zufallsvariablen ohne Dichte?

Lassen und Y bezeichneten Zufallsvariablen , so daß E [ X 2 ] und E [ Y 2 ] endlich ist. Dann sind E [ X Y ] , E [ X ] und E [ Y ] alle endlich.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Unsere Aufmerksamkeit auf solche Zufallsvariablen zu beschränken, lassen die Aussage , dass bezeichnen X und Y sind unabhängig Zufallsvariablen und B die Aussage , dass X und Y sind unkorrelierte Zufallsvariablen, das heißt, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Dann wissen wir, dass A B impliziert , dh unabhängige Zufallsvariablen sind nicht korrelierte Zufallsvariablen. In der Tat eine Definition$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$von unabhängigen Zufallsvariablen ist , dass ist gleich E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] für alle meßbaren Funktionen g ( ⋅ ) und h ( ⋅ ) ). Dies wird normalerweise als A ausgedrückt $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Aber

$$A \implies B.$$ ist logisch äquivalent zu ¬ $A \implies B$ , das heißt$\neg B \implies \neg A$

Korrelierte Zufallsvariablen sind abhängige Zufallsvariablen.

Wenn , E [ X ] oder E [ Y ] nicht endlich sind oder nicht existieren, ist es nicht möglich zu sagen, ob X und Y unkorreliert sind oder nicht in der klassischen Bedeutung von unkorrelierten Zufallsvariablen, die solche für sind wobei E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Beispielsweise könnten X und Y unabhängige Cauchy-Zufallsvariablen sein (für die der Mittelwert nicht existiert)$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$). Sind sie unkorrelierte Zufallsvariablen im klassischen Sinne?

Hier ein rein logischer Beweis. Wenn dann unbedingt ¬ B → ¬ A , so sind die beiden äquivalent. Wenn also ¬ B dann ¬ A . Ersetzen Sie nun A durch Unabhängigkeit und B durch Korrelation.$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

Denken Sie an eine Aussage "Wenn ein Vulkan ausbricht, wird er Schaden nehmen". Denken Sie nun an einen Fall, in dem keine Schäden vorliegen. Es ist klar, dass ein Vulkan nicht ausbrach, oder wir hätten eine Kondtradition.

Denken Sie in ähnlicher Weise an den Fall "Wenn unabhängiges , dann nicht korreliertes X , Y ". Betrachten Sie nun den Fall, in dem X , Y korreliert sind. Natürlich können sie nicht unabhängig sein, denn wenn sie es wären, würden sie auch korreliert. So schließen Sie die Abhängigkeit.$X,Y$$X,Y$$X,Y$