Test zur Unterscheidung von periodischen von fast periodischen Daten

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Angenommen, ich habe eine unbekannte Funktion mit Domäne , von der ich weiß, dass sie einige vernünftige Bedingungen wie Kontinuität erfüllt. Ich kenne die genauen Werte von f (weil die Daten aus einer Simulation stammen) an einigen äquidistanten Abtastpunkten t_i = t_0 + iΔt mit i∈ \ {1,…, n \} , von denen ich annehmen kann, dass sie ausreichend fein sind, um alle zu erfassen relevante Aspekte von f , z. B. kann ich annehmen, dass sich zwischen zwei Abtastpunkten höchstens ein lokales Extremum von f befindet . Ich suche nach einem Test, der mir sagt, ob meine Daten mit f genau periodisch übereinstimmen , dh ∃τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, tf ffti=t0+iΔti{1,,n}fffτ:f(t+τ)=f(t)twobei die Periodenlänge etwas resonant ist, zum Beispiel Δt<τ<n·Δt (aber es ist denkbar, dass ich bei Bedarf stärkere Einschränkungen vornehmen kann).

Unter einem anderen Gesichtspunkt habe ich Daten x0,,xn und suche nach einem Test, der die Frage beantwortet, ob eine periodische Funktion f (die die Bedingungen wie oben erfüllt) existiert, so dass f(ti)=xii .

Der wichtige Punkt ist, dass f zumindest sehr nahe an der Periodizität liegt (es könnte zum Beispiel f(t):=sin(g(t)·t) oder f(t):=g(t)·sin(t) mit g(t)g(t0)/Δt ) in dem Maße, in dem das Ändern eines Datenpunktes um einen kleinen Betrag ausreichen kann, um die Daten so zu gestalten, dass f genau periodisch ist. Daher helfen Standardwerkzeuge für die Frequenzanalyse wie die Fourier-Transformation oder die Analyse von Nulldurchgängen nicht viel.

Beachten Sie, dass der gesuchte Test wahrscheinlich nicht probabilistisch ist.

Ich habe einige Ideen, wie ich einen solchen Test selbst entwerfen kann, möchte aber vermeiden, das Rad neu zu erfinden. Ich suche also einen vorhandenen Test.

Wrzlprmft
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Können Sie angesichts Ihrer Daten erklären, was Sie damit meinen, dass der Test nicht "statistisch" ist? Welche Art von Test haben Sie dann vor?
whuber
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By the way, möchten Sie vielleicht beginnen hier , falls Sie sind für einen statistischen Test der Periodizität suchen.
Tchakravarty
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Wie wurden die Probenahmestellen ermittelt? Da Sie vermutlich nicht genau wissen, was ist, würde jemand anderes, wenn er würde, nicht unterschiedliche "Zeiten" verwenden und daher unterschiedliche Werte erhalten? Das ist Variabilität. Übrigens gibt es keine genauen Daten, es sei denn, Sie führen eine theoretische mathematische Übung durch. Es wäre daher eine gute Idee zu erklären, wie Sie die Werte von . fff
whuber
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Da @whuber und amoeba fahren, bleibt diese Frage schwer zu beantworten, bis eine zufriedenstellende Definition von periodisch und / oder Test geliefert wird. Bei willkürlich abgetasteten beliebigen Punkten gibt es unendlich viele kontinuierliche periodische Funktionen (unter Verwendung der Literaldefinition), die zu den Punkten passen. Es ist eine einfache Übung in der Interpolation. Dies ist jedoch offensichtlich nicht mehr eine Antwort auf Ihre Frage als die Tatsache, dass eine Menge von zufälligen Prädiktoren über lineare Regression perfekt zu Punkten passt . Daher warten wir mit angehaltenem Atem auf Ihre Klarstellung. nnn
Kardinal
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Für jedes , das kein rationales Vielfaches von , können die Daten, die Sie haben, immer als Stichprobe einer kontinuierlichen periodischen Funktion von Periode da Sie keine Beobachtungen haben, die genau ein ganzzahliges Vielfaches von voneinander entfernt sind. Dies führt zu den Beobachtungen von @ cardinal, bei denen festgestellt wird, dass diese Schlussfolgerung zu trivial ist, um nützlich zu sein, Sie jedoch keine Kriterien angegeben haben, um dies auszuschließen. τΔtττ
whuber

Antworten:

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Wie gesagt, ich hatte eine Idee, wie ich das machen sollte. Ich erkannte, verfeinerte und schrieb einen Artikel darüber, der jetzt veröffentlicht wird: Chaos 25, 113106 (2015) - Preprint auf ArXiv .

Das untersuchte Kriterium ist fast das gleiche wie in der Frage skizziert: Bei gegebenen Daten die zu den Zeitpunkten , entscheidet der Test, ob es eine Funktion und a so dass:x1,,xnt0,t0+Δt,,t0+nΔtf:[t0,t0+Δt]τ[2Δt,(n1)Δt]

  • f(t0+iΔt)=xii{1,,n}
  • f(t+τ)=f(t)t[t0,t0+Δtτ]
  • f hat nicht mehr lokale Extrema als die Sequenz , mit der möglichen Ausnahme von höchstens einem Extremum nahe dem Anfang und Ende von .xf

Der Test kann geändert werden, um kleine Fehler wie numerische Fehler der Simulationsmethode zu berücksichtigen.

Ich hoffe, dass meine Arbeit auch antwortet, warum ich an einem solchen Test interessiert war.

Wrzlprmft
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Transformieren Sie die Daten mithilfe der diskreten Fourier-Transformation (DFT) in einen Frequenzbereich . Wenn die Daten perfekt periodisch sind, gibt es genau einen Frequenzbereich mit einem hohen Wert, und andere Bereiche sind Null (oder nahe Null, siehe Spektralverlust).

Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung durch . Dies setzt also die Grenze für die Erkennungsgenauigkeit.sampling frequencyNumber of samples

Als ein
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Wie ich bereits in der Frage festgestellt habe, ist die Fourier-Transformation (zumindest für sich allein) nicht einmal annähernd präzise genug, um die Unterschiede zu erkennen, an denen ich interessiert bin, und wird kaum einen Unterschied zwischen und . Außerdem gilt das, was Sie behaupten, nur für sinusförmige Daten. Bei allen anderen Daten wird die Subharmonik angezeigt. ( 1 + & epsi ; x ) · sin ( x )sin(x)(1+εx)·sin(x)
Wrzlprmft
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Wenn Sie das tatsächliche periodische Signal kennen, berechnen Sie

difference=|theoretical datameasured data|

Summiere dann die Elemente von . Wenn es über einem Schwellenwert liegt (Fehler aus der Gleitkomma-Arithmetik berücksichtigen), sind die Daten nicht periodisch.difference

asdsaj
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Abgesehen von der Tatsache, dass ich das zugrunde liegende Signal nicht kenne, hat dies nichts mit Periodizität zu tun, sondern würde funktionieren, wenn ich das zugrunde liegende Signal kenne.
Wrzlprmft