Ein Beweis für die Stationarität eines AR (2)

17

Man betrachte einen mittelzentrierten AR (2) -Prozess wobei der Standardprozess für weißes Rauschen ist. Lassen Sie mich der Einfachheit halber und . Ich konzentriere mich auf die Wurzeln der Charakteristikgleichung und Die klassischen Bedingungen in den Lehrbüchern lauten wie folgt: Ich habe versucht, die Ungleichungen auf den Wurzeln, dh dem System mit Hilfe von Mathematica manuell zu lösen. erhält gerade

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
ϵtϕ1=bϕ2=a
z1,2=b±b2+4a2a
{|a|<1a±b<1
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
Kann die dritte Bedingung ( ) immer die letzten beiden Lösungen miteinander Hinzufügen erholen werden , dass durch einige Zeichen Erwägungen wird ? Oder fehlt mir eine Lösung?a + b + a - b < 2 a < 1 | a | < 1|a|<1a+b+ab<2a<1|a|<1
Marco
quelle

Antworten:

18

Ich vermute, dass die charakteristische Gleichung, von der Sie abweichen, sich von meiner unterscheidet. Lassen Sie mich in ein paar Schritten überprüfen, ob wir uns einig sind.

Betrachten Sie die Gleichung

λ2ϕ1λϕ2=0

Wenn eine Wurzel der "Standard" -Kennliniengleichung und , erhält die Anzeige durch Umschreiben der Standardgleichung folgende Ergebnisse: Daher ist eine alternative Bedingung für die Stabilität eines dass sich alle Wurzeln der ersten Anzeige innerhalb des Einheitskreises befinden, .z1ϕ1zϕ2z2=0z1=λ

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
AR(2)|z|>1|λ|=|z1|<1

Wir verwenden diese Darstellung, um das Stationaritätsdreieck eines -Prozesses abzuleiten, dh , dass ein stabil ist, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: AR(2)AR(2)

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

Denken Sie daran, dass Sie die Wurzeln der ersten Anzeige (falls vorhanden) als schreiben können, um die zu finden erste zwei Bedingungen.

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22

Dann ist der stationär, wenn , also (wenn real ist): Der größere der beiden ist begrenzt durch , oder: Analog .AR(2)|λ|<1λi

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
λiϕ1+ϕ12+4ϕ2<2
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
ϕ2<1+ϕ1

Wenn komplex ist , dann und soDer Quadratmodul einer komplexen Zahl ist das Quadrat des Realteils plus das Quadrat des Imaginärteils. Daher ist Dies ist stabil, wenn , also wenn oder , wie gezeigt werden sollte. (Die sich aus ergebende Einschränkung ist im Hinblick auf und redundant .)λiϕ12<4ϕ2

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
|λ|<1ϕ2<1ϕ2>1ϕ2<1ϕ22<1ϕ2<1+ϕ1ϕ2<1ϕ1

Das Zeichnen des Stationaritätsdreiecks, das auch die Linie angibt, die komplexe von realen Wurzeln trennt, erhalten wir

Bildbeschreibung hier eingeben

Produziert in R mit

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)
Christoph Hanck
quelle
Dies ist eine sehr detaillierte Erklärung.
Marco
@Christoph: Gibt es einen Tippfehler in der Antwort? Schauen Sie sich die Gleichung für . Und was meinst du mit Quadrat einer komplexen Zahl? Wenn dann ist . Wie sagt man Quadrat einer komplexen Zahl ist "Quadrat des Realen plus das Quadrat des Imaginärteils" z = a + b i z 2 = a 2 - b 2 + 2 i a bλ2z=a+biz2=a2b2+2iab
Shani
1
Danke, ganz richtig! Ich bezog mich auf den Quadratmodul, siehe die Bearbeitung.
Christoph Hanck
@ChristophHanck, wie sehen Sie die Antworten von Aksakal in diesen beiden Threads: 1 und 2 ? Stehen sie in Konflikt mit Ihrer Antwort, und wenn ja, wie lautet die richtige Antwort?
Richard Hardy
Ich denke, er hat vollkommen recht, wenn er schwache Stationarität als Konstanz der ersten beiden Momente definiert. Oft und auch im gegenwärtigen Thread verschmelzen "Stationarität" und "Existenz einer kausalen Repräsentation", dh einer summierbaren Repräsentation ohne Abhängigkeit von der Zukunft. Was meine Antwort daher genauer zeigt, sind Bedingungen für die Existenz der letzteren. MA()
Christoph Hanck