Berechnung der Parameter einer Beta-Verteilung anhand des Mittelwerts und der Varianz

Wie kann ich die Parameter und für eine Beta-Verteilung berechnen, wenn ich den Mittelwert und die Varianz kenne, die die Verteilung haben soll? Beispiele für einen R-Befehl dazu wären am hilfreichsten.$\alpha$$\beta$

Ich setze und und gelöst für und . Meine Ergebnisse zeigen, dass und

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\alpha$$\beta$ $$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$$ $$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$$

Ich habe einen R-Code geschrieben, um die Parameter der Beta-Verteilung aus einem gegebenen Mittelwert mu und der Varianz var abzuschätzen:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

Es gab einige Verwirrungen um die Grenzen von und für jede gegebene Beta-Distribution, also lassen Sie uns das hier klarstellen.$\mu$$\sigma^2$

1. $\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
2. $\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

Im Folgenden finden Sie eine allgemeine Methode zum Lösen dieser Art von Problemen mit Maple anstelle von R. Dies funktioniert auch für andere Distributionen:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

was zur Lösung führt

$$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$$

Dies entspricht der Lösung von Max.

In R hat die Beta-Verteilung mit den Parametern und Dichte$\textbf{shape1} = a$$\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ ,

für , und .$a > 0$$b >0$$0 < x < 1$

In R können Sie es mit berechnen

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

In dieser Parametrisierung ist der Mittelwert und die Varianz ist . Sie können jetzt also der Antwort von Nick Sabbe folgen.$E(X) = \frac{a}{a+b}$$V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Gute Arbeit!

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Ich finde:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$ ,

und

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$ ,

wobei und .$\mu=E(X)$$V=V(X)$

Auf Wikipedia finden Sie zum Beispiel die folgenden Formeln für den Mittelwert und die Varianz einer Beta-Verteilung in Alpha und Beta: und Diese invertieren ( in der unteren Gleichung ausfüllen ) sollte geben Sie das gewünschte Ergebnis (obwohl es einige Arbeit dauern kann).

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

$[a,b]$

$$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$$

die invertiert werden kann, um zu geben:

$$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$$

wo

$$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$$

$\mu$$\alpha$$\beta$$\beta$

$$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$$ $\alpha$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$$ $$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$$ $\alpha$

Ich habe nach Python gesucht, bin aber darauf gestoßen. Das wäre also nützlich für andere wie mich.

Hier ist ein Python-Code zum Abschätzen der Beta-Parameter (gemäß den oben angegebenen Gleichungen):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

$\alpha$$\beta$scipy.stats.beta