Was sind durchschnittliche Teileffekte?

Kennt jemand die Bedeutung von durchschnittlichen Teileffekten? Was genau ist das und wie kann ich sie berechnen? Hier ist eine Referenz, die helfen könnte.

Ich glaube nicht, dass es hier einen Konsens in Bezug auf die Terminologie gibt, aber ich denke, dass die meisten Menschen Folgendes im Sinn haben, wenn jemand "durchschnittliche partielle Wirkung" oder "durchschnittliche marginale Wirkung" sagt.

Nehmen wir konkret an, wir analysieren eine Population von Menschen. Betrachten Sie das lineare Modell

$$Y = \beta X + U,$$ wobei $(Y,X)$ skalare Zufallsvariablen sind und $U$ eine nicht beobachtete skalare Zufallsvariable ist. Angenommen, $\beta$ ist eine unbekannte Konstante. Angenommen, dies ist ein Strukturmodell, das heißt, es hat eine kausale Interpretation. Wenn wir also eine Person aus der Population auswählen und ihren Wert von $X$ um 1 Einheit erhöhen könnten, würde sich ihr Wert von $Y$ um $\beta$ erhöhen . Dann heißt $\beta$ der Randoder kausale Wirkung von $X$ auf $Y$ .

Unter der Annahme, dass $\beta$ eine Konstante ist, bedeutet dies, dass unabhängig davon, welche Person wir aus der Population auswählen, eine Erhöhung von $X$ eine Einheit den gleichen Effekt auf $Y$ - es erhöht $Y$ um $\beta$ . Dies ist eindeutig einschränkend. Wir können diese Annahme eines konstanten Effekts lockern, indem wir annehmen, dass $\beta$ selbst eine Zufallsvariable ist - jede Person hat einen anderen Wert von $\beta$ . Folglich gibt es eine vollständige Verteilung von Randeffekten, die Verteilung von $\beta$ . Der Mittelwert dieser Verteilung, $E(\beta)$ , wird als durchschnittlicher Randeffekt bezeichnet(AME) oder durchschnittlicher Teileffekt. Wenn wir den Wert von $X$ um eine Einheit erhöhen , wird die durchschnittliche Änderung von $Y$ durch die AME angegeben.

Man betrachte alternativ das nichtlineare Modell

$$Y = m(X,U),$$ wobei wiederum $(Y,X)$ skalare Observablen sind und $U$ ein nicht beobachtbarer Skalar ist und $m$ eine unbekannte Funktion ist (der Einfachheit halber sei angenommen, dass es differenzierbar ist). Hier ist die kausale / marginale Wirkung von $X$ auf $Y$ ist $\partial m(x,u)/\partial x$ . Dieser Wert kann vom Wert von U abhängen$U$. Selbst wenn wir Menschen betrachten, die alle den gleichen beobachteten Wert von $X$ , wird eine kleine Zunahme von $X$$Y$ nicht notwendigerweise um den gleichen Betrag erhöhen , da jede Person einen anderen Wert von $U$ . Daher gibt es eine Verteilung der Randeffekte, genau wie im obigen linearen Modell. Und wieder können wir den Mittelwert dieser Verteilung betrachten: $$E_{U \mid X} \left[ \frac{\partial m(x,U)}{\partial x} \mid X=x \right].$$ Dieser Mittelwert wird als durchschnittlicher Randeffekt bei$X=x$. Wenn wir annehmen, dass$U$unabhängig von$X$, wie es manchmal der Fall ist, dann ist die AME bei$X=x$einfach $$E_{U} \left[ \frac{\partial m(x,U)}{\partial x} \right].$$ Im Allgemeinen ist ein durchschnittlicher Randeffekt nur eine Ableitung (oder manchmal eine endliche Differenz) einer Strukturfunktion (wie$m(x,u)$oder$\beta x + u$) in Bezug auf eine beobachtete Variable$X$, gemittelt über eine nicht beobachtete Variable$U$, möglicherweise innerhalb einer bestimmten Untergruppe von Personen mit$X=x$. Die genaue Form dieses Effekts hängt vom jeweiligen Modell ab.

Beachten Sie auch, dass diese Objekte auch als durchschnittliche Behandlungseffekte bezeichnet werden können, insbesondere wenn ein endlicher Unterschied berücksichtigt wird. Beispielsweise wird die Differenz der Strukturfunktion bei $X=1$ ("behandelt") und bei $X=0$ ("unbehandelt") über die nicht beobachtbaren Faktoren gemittelt.

Um es klar auszudrücken: Wenn ich oben von „Verteilungen“ spreche, meine ich Verteilungen über die Bevölkerung von Menschen . Jede Person in der Population hat einen Wert von $U$ , der $X$ und der $Y$ . Daher gibt es eine Verteilung dieser Werte, wenn ich alle Menschen in der Bevölkerung betrachte. Das Gedankenexperiment hier ist das folgende. Nimm alle Leute mit $X=x$ . Nehmen Sie nun eine dieser Personen und erhöhen Sie ihren $X$ Wert um einen kleinen Betrag, aber behalten Sie ihren $U$ Wert bei, und wir notieren die Änderung ihres $Y$ Werts. Wir machen das für jede Person mit $X=x$und mittle dann die Werte. Das bedeutet es, über $U \mid X=x$ .

Average Partial Effects (APE) sind der Beitrag jeder Variablen auf der Ergebnisskala, abhängig von den anderen Variablen, die an der Verknüpfungstransformation des linearen Prädiktors beteiligt sind

Durchschnittliche Randeffekte (AME) sind der Randbeitrag jeder Variablen auf der Skala des linearen Prädiktors .

Diese Dokumentation aus dem marginsPaket für R ist sehr hilfreich für das Verständnis.