Ich versuche, eine Korrelationsmatrix (symmetrisches psd) mit einer vorgegebenen Sparsity-Struktur (angegeben durch einen Graphen auf Knoten) zu erzeugen . Die Knoten, die im Diagramm verbunden sind, haben die Korrelation , alle sind 0 und die Diagonale ist alle 1.p ρ ∼ U ( 0 , 1 )
Ich habe mehrmals versucht, diese Matrix zu generieren, aber nur selten eine gültige Korrelationsmatrix erhalten.
Gibt es eine Möglichkeit, eine Korrelationsmatrix whp sicherzustellen? Beachten Sie, dass ich nur eine positive Korrelation haben kann, sodass usw. keine Option ist.
Jede Hilfe wird sehr geschätzt!
correlation
matrix
sparse
correlation-matrix
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Antworten:
Schließen, aber keine Zigarre für @Rodrigo de Azevedo.
Die Lösung besteht darin, die semidefinite Programmierung zu verwenden, um den Maximalwert und den Minimalwert (vorbehaltlich der Nichtnegativität) von so zu ermitteln, dass die Korrelationsmatrix mit dem vorgeschriebenen Sparsity-Muster positiv ist semidefinit (psd). Alle Werte von so dass , psd-Matrizen erzeugen (Übung für den Leser)ρmax ρmin ρ ρ ρmax≤ρ≤ρmax
Daher müssen Sie entweder eine Verteilung von auswählen, die nur Werte in annehmen kann , oder Sie müssen Akzeptanz / Ablehnung verwenden und generierte Werte von ablehnen , die nicht erzeugen eine psd-Matrix.ρ [ρmax,ρmax] ρ
Beispiel für eine 4 x 4-Matrix mit YALMIP unter MATLAB
Ergebnisse: Maximum Rho = 0,57735, Minimum Rho = 0. Es ist leicht ersichtlich, dass Null der Minimalwert von Rho ist, sofern Rho nicht negativ ist und die vorgeschriebene Matrix psd ist, unabhängig von der Dimension oder dem Sparsity-Muster. Daher ist es nicht erforderlich, die semidefinite Optimierung auszuführen, um den minimalen nichtnegativen Wert von .ρ
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Eine Korrelationsmatrix ist symmetrisch, positiv semidefinit und hat auf ihrer Hauptdiagonale. Man kann eine Korrelationsmatrix finden, indem man das folgende semidefinite Programm (SDP) löst, bei dem die Zielfunktion beliebig ist, beispielsweise die Nullfunktion1 n×n
Wenn man zusätzliche Einschränkungen hat, wie z. B. Sparsity-Einschränkungen
und Nicht-Negativitätsbeschränkungen, , dann löst man das folgende SDPX≥On
Ein Beispiel3×3
Angenommen, wir möchten und . Hier ist ein MATLAB + CVX- Skript:x 12 , x 23 ≥ 0x13=0 x12,x23≥0
Ausführen des Skripts,
Mal sehen, welche Lösung CVX gefunden hat,
Ist diese Matrix positiv semidefinit? Positiv definitiv?
Es ist definitiv positiv, wie erwartet. Wir können positive semidefinite Korrelationsmatrizen finden, indem wir eine (lineare) Zielfunktion ungleich Null wählen.
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