Mediane absolute Abweichung (MAD) und SD verschiedener Verteilungen

Für normalverteilte Daten werden die Standardabweichung und die mittlere absolute Abweichung in Beziehung gesetzt durch:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung.$\Phi()$

Gibt es eine ähnliche Beziehung für andere Distributionen?

Um die Frage in Kommentaren anzusprechen:

Ich würde gerne wissen, ob es einen möglichen Wertebereich für die Konstante gibt

(Ich gehe davon aus, dass es sich bei der Frage um die Abweichung vom Median handeln soll.)

1. Das Verhältnis von SD zu MAD kann beliebig groß gemacht werden.

   Nehmen Sie eine Verteilung mit einem vorgegebenen Verhältnis von SD zu MAD. Halten Sie die mittleren der Verteilung fest (was bedeutet, dass MAD unverändert ist). Bewegen Sie die Schwänze weiter nach außen. SD steigt. Bewegen Sie es weiter über eine bestimmte endliche Grenze hinaus.$50\%+\epsilon$

2. Das Verhältnis von SD zu MAD kann leicht nahe an , wie gewünschtindem (zum Beispiel) setzen25%+εbei±1und50%-2εbei 0.$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   Ich denke das wäre so klein wie es geht.

$f(x;\theta)$$\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$$G_\theta$$|X-\text{MED}_\theta|$$\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$$F_\theta$$X$

1. $\theta=\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$
2. $\theta=(\mu,\sigma)$$\mu$ $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ $|X-\text{MED}_\theta|$$|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$$\mu$$G_\theta$$\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$