Warum Monte-Carlo-Methode anstelle eines einfachen Rasters verwenden?

Beim Integrieren einer Funktion oder in komplexen Simulationen habe ich gesehen, dass die Monte-Carlo-Methode weit verbreitet ist. Ich frage mich, warum man kein Punktegitter erzeugt, um eine Funktion zu integrieren, anstatt zufällige Punkte zu zeichnen. Würde das nicht genauere Ergebnisse bringen?

Ich fand Kapitel 1 und 2 dieses Skriptes hilfreich, als ich mir vor einigen Jahren die gleiche Frage stellte. Eine kurze Zusammenfassung: Ein Gitter mit Punkten im 20-dimensionalen Raum erfordert N 20 Funktionsbewertungen. Das ist viel. Mit der Monte-Carlo-Simulation weichen wir dem Fluch der Dimensionalität teilweise aus. Die Konvergenz einer Monte - Carlo - Simulation ist O ( N - 1 / 2 ) , die, wenn auch ziemlich langsam, dimensions unabhängig .$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

Sicher tut es das; es kommt jedoch mit einer viel größeren CPU-Auslastung. Das Problem nimmt insbesondere in vielen Dimensionen zu, in denen Gitter effektiv unbrauchbar werden.

Bisherige Kommentare stimmen darin überein, dass die Simulation bei mehrdimensionalen Problemen einfacher zu verwenden ist. Es gibt jedoch Möglichkeiten, Ihre Bedenken auszuräumen - werfen Sie einen Blick auf http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence und http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Während es bei der Betrachtung von Monte Carlo typisch ist, Ablehnungsproben zu entnehmen, ermöglicht es Markov Chain Monte Carlo , einen mehrdimensionalen Parameterraum effizienter zu untersuchen als mit einem Gitter (oder einer Ablehnungsprobe). Wie MCMC für die Integration verwendet werden kann, erfahren Sie in diesem Tutorial: http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Zwei Dinge -

1. Schnellere Konvergenz durch Vermeidung von Dimensionalitätsflüchen. Da die meisten Punkte in einem Raster auf derselben Hyperebene liegen, ohne dass zusätzliche Informationen wesentlich dazu beitragen. Zufällige Punkte füllen den N-dimensionalen Raum gleichmäßig aus. LDS ist noch besser.

2. Manchmal benötigen wir für Monte-Carlo-Methoden statistisch zufällige Punkte in keiner bestimmten Reihenfolge. Eine geordnete Folge von Gitterpunkten führt zu schlechten statistischen Eigenschaften.