Was ist das Minimum von über alle kontinuierlichen unimodalen Verteilungen in einem begrenzten Intervall ?

Alle Verteilungen in einem begrenzten Intervall erfüllen:$[0,1]$

Dabei ist der Mittelwert und die Varianz.$\mu$$\sigma^2$

Nehmen wir nun an, dass die Verteilung unimodal ist, in dem Sinne, dass sie höchstens ein lokales Maximum hat. Was ist der Mindestwert, den das folgende Verhältnis haben kann:

Ein Minimum existiert nicht. Ein Infimum tut es jedoch. Daraus folgt, dass

Das Supremum der Varianz von unimodalen Verteilungen, die auf mit dem Mittelwert ist ( ) oder ( ).μ μ ( 2 - 3 μ ) / 3 0 ≤ μ ≤ 1 / 2 ( 1 - μ ) ( 3 μ - 1 ) / 3 1 / 2 ≤ μ ≤ $[0,1]$$\mu$$\mu(2 - 3\mu)/3$$0 \le \mu \le 1/2$$(1-\mu)(3\mu-1)/3$$1/2\le \mu \le 1$

Das Supremum wird tatsächlich durch eine Verteilung erreicht, die - obwohl sie keine Dichtefunktion hat - (im allgemeinen Sinne) immer noch als "unimodal" angesehen werden kann; es wird ein Atom bei (wenn ) oder ein Atom bei (wenn ) haben, aber ansonsten einheitlich sein.μ < 1 / 2 1 μ > 1 /$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$

Ich werde das Argument skizzieren. Die Frage fordert uns auf, eine lineare Funktion zu optimieren

vorbehaltlich verschiedener Gleichheits- und Ungleichheitsbeschränkungen, wobei die Menge der (vorzeichenbehafteten) Maße für das Intervall . Für differenzierbare und jede stetige Funktion[ 0 , 1 ] F : [ 0 , 1 ] → R g : [ 0 , 1 ] → $D[0,1]$$[0,1]$$F:[0,1]\to\mathbb{R}$$g:[0,1]\to\mathbb{R}$

und erweitern Sie durch Kontinuität auf alle . D [ 0 , 1 $\mathcal{L}$$D[0,1]$

Die Gleichheitsbeschränkungen sind

und

Die Ungleichheitsbeschränkungen sind folgende

und es existiert (ein "Modus"), so dass für alle und alle ,0 ≤ x ≤ y ≤ λ λ ≤ y ≤ x ≤ $\lambda \in [0,1]$$0\le x \le y \le \lambda$$\lambda \le y \le x \le 1$

Diese Einschränkungen bestimmen eine konvexe Domäne über die optimiert werden soll.L x $\mathcal{X}\subset D[0,1]$$\mathcal{L}_{x^2}$

Wie bei jedem linearen Programm in einem endlichen dimensionalen Raum werden die Extrema von an den Eckpunkten von . Dies sind offensichtlich die Maße, die in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut kontinuierlich sind und stückweise konstant sind , da an den Eckpunkten fast alle Ungleichungen zu Gleichheiten werden: und die meisten dieser Ungleichungen sind mit der Unimodalität von (nicht zunehmendes Schwanzverhalten). .X$\mathcal{L}_g$$\mathcal{X}$$F$

Um die beiden Gleichheitsbeschränkungen zu erfüllen, müssen wir nur einen einzigen Bruch im Graphen von , beispielsweise bei einer Zahl . Bezeichnet man den konstanten Wert im Intervall wird und den konstanten Wert an sein , eine einfache Berechnung auf der Grundlage der Gleichheitsbedingung Ausbeuten0 < λ < 1 [ 0 , λ ) a ( λ , 1 ] $f$$0\lt \lambda \lt 1$$[0,\lambda)$$a$$(\lambda, 1]$$b$

Diese Abbildung sagt alles: Sie zeigt die lokal konstante Verteilungsfunktion des Mittelwerts mit höchstens einer einzelnen Unterbrechung bei . (Die Darstellung von für sieht aus wie die Umkehrung dieser.)λ f ( λ , μ ) , μ > 1 /$\mu$$\lambda$$f_{(\lambda,\mu)}$$\mu \gt 1/2$

Der Wert von bei solchen Maßen (den ich als , ist die Dichte einer Verteilung ) genauso leicht zu berechnen f ( λ , μ ) F ( λ , μ $\mathcal{L}_{x^2}$$f_{(\lambda, \mu)}$$F_{(\lambda, \mu)}$

Dieser Ausdruck ist in linear , was bedeutet, dass er bei (wenn ), (wenn ) oder bei einem beliebigen Wert (wenn ) maximiert ist. . Außer wenn , sind die Grenzwerte der Maße nicht mehr stetig: die entsprechende Verteilung oder hat eine Sprungdiskontinuität bei oder (aber nicht bei beiden).$\lambda$$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$$\mu = 1/2$$\mu=1/2$$f_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$$0$$1$

Diese Abbildung zeigt das optimale für einen Mittelwert von .$F$$\mu \approx 2/5$

Unabhängig davon ist der optimale Wert

Folglich ist die Infimum für ist$\mu(1-\mu)/\sigma^2$$0\le \mu \lt 1/2$

mit einem vergleichbaren Ausdruck, wenn (erhalten durch Ersetzen von durch ).μ 1 - $1/2\lt \mu \le 1$$\mu$$1-\mu$

Diese Figur zeigt das Supremum gegen .$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$$\mu$