Was ist der Nachweis der Varianz der Differenz zweier abhängiger Variablen?

Ich weiß, dass die Varianz der Differenz zweier unabhängiger Variablen die Summe der Varianzen ist, und ich kann es beweisen. Ich möchte wissen, wohin die Kovarianz im anderen Fall führt.

Wenn und abhängige Variablen mit Kovarianz sind , dann ist die Varianz ihrer Differenz gegeben durch Dies wird unter den grundlegenden Eigenschaften der Varianz auf http://en.wikipedia.org/wiki/Variance erwähnt . Wenn und zufällig nicht korreliert sind (was erst recht der Fall ist, wenn sie unabhängig sind), ist ihre Kovarianz Null und wir haben $X$$Y$$\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ $X$$Y$ $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

Sei und zwei Zufallsvariablen. Wir wollen zeigen, dass .$X$$Y$$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Definieren wir , also haben wir: .$Z:=-Y$$Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$ , da$Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Wir haben auch , weil .$Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$$Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Wenn wir alle Teile zusammenfügen, haben wir .$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$