Grundlegende Differenzierungsformel verstehen

11

Ich habe eine Zeitreihe und möchte sie als ARFIMA-Prozess (auch bekannt als FARIMA) modellieren. Wenn y_t in der (gebrochenen) Ordnung d integriert ist , möchte ich es fraktioniert differenzieren, um es stationär zu machen.y t dytytd

Frage : Ist die folgende Formel zur Definition der gebrochenen Differenzierung korrekt?

Δdyt:=ytdyt1+d(d1)2!yt2d(d1)(d2)3!yt3+...+(1)k+1d(d1)...(dk)k!ytk+...

(Hier bezeichnet Δd die gebrochene Differenzierung der Ordnung d .)

Ich stütze die Formel auf diesen Wikipedia-Artikel auf ARFIMA , Kapitel ARFIMA ( 0,d,0 ), bin mir aber nicht sicher, ob ich sie richtig verstanden habe.

Richard Hardy
quelle

Antworten:

6

Ja, es scheint richtig zu sein. Der Bruchfilter wird durch die Binomialerweiterung definiert:

Δd=(1L)d=1dL+d(d1)2!L2d(d1)(d2)3!L3+

Beachten Sie, dass der Verzögerungsoperator ist und dass dieser Filter nicht vereinfacht werden kann, wenn . Betrachten Sie nun den Prozess:L0<d<1

ΔdXt=(1L)dXt=εt

Wenn wir uns erweitern, erhalten wir:

ΔdXt=(1L)dXt=XtdLXt+d(d1)2!L2Xtd(d1)(d2)3!L3Xt+=εt

was geschrieben werden kann als:

Xt=dXt1d(d1)2!Xt2+d(d1)(d2)3!Xt3+εt

Weitere Informationen finden Sie unter Asset Price Dynamics, Volatility and Prediction von Stephen J. Taylor (S. 243 in der Ausgabe 2007) oder Time Series: Theory and Methods von Brockwell und Davis.

Plissken
quelle
Mein Problem bestand darin, von der allgemeinen Definition des Filters (wie Sie) zur Anwendung des Filters auf ein bestimmtes . Ich weiß, dass es offensichtlich sein muss, aber könnten Sie vielleicht einen Schritt hinzufügen, der zeigt, wie Sie von Ihrer Formel zu meiner gelangen? yt
Richard Hardy
Siehe meine bearbeitete Antwort.
Plissken